東邦大学 2019年数学第7問解答・解説

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1問題

東邦大学2019年度第7問

数列 $\{a_n\}$ は、 $a_1=3$ 、 $a_2=3$ 、 $a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=a_{n+2}a_n-1\qquad(n=1,2,3,\ldots)$ を満たす。このとき、 $\displaystyle a_{104}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。また、 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}a_n=2019$ となるような $N$ の値は $\boxed{\text{ウエオカ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

漸化式を二項から次項への更新として計算し、初期状態への復帰から周期を示して項と部分和を求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ア $=7,\quad$ イ $=4,\quad$ ウエオカ $=1153$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

漸化式を $(1-a_n)a_{n+2}=a_{n+1}-a_n-1$ と変形する。初期値から順に計算すると $\displaystyle a_3=\frac12,\quad a_4=\frac74,\quad a_5=\frac12,\quad a_6=3,\quad a_7=3.$ 実際、最初の5回の更新は $(a_n,a_{n+1})=(3,3),(3,1/2),(1/2,7/4),(7/4,1/2),(1/2,3)$ に対し、それぞれ次の項 $1/2,7/4,1/2,3,3$ を与える。どの更新でも $a_n\ne1$ なので次項は一意に定まり、 $(a_6,a_7)=(a_1,a_2)=(3,3)$ に戻る。以後同じ5項が繰り返される。したがって $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(3,3,1/2,7/4,1/2)$ が周期である。 $104=5\cdot20+4$ より $a_{104}=a_4=7/4$ 。

5項の和は $35/4$ 、最初の3項の和は $13/2$ である。230周期分の和は $\displaystyle 230\cdot\frac{35}{4}=\frac{4025}{2},$ これに次周期の最初の3項を加えると $4025/2+13/2=2019$ となる。各項は正で部分和は狭義に増加するから、この $N$ は一意であり、 $N=5\cdot230+3=1153.$

この問題で使う考え方

漸化式
総和記号と数列の和

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