3東邦大学 2019年 数学 第3問解答・解説

x>0 で微分すると、 $$\displaystyle f'(x)=-\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{1-x}{2\sqrt{3x}} =\frac{1-3x}{2\sqrt{3x}}.$$ したがって $0<x<1/3$ で $f'(x)>0$、$x>1/3$ で $f'(x)<0$ である。また $f(0)=0$ なので、最大となる点は $$\displaystyle \alpha=\frac13.$$

曲線の長さを求める。 $$\displaystyle \begin{aligned} L&=\int_{1/3}^{3}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx\\ &=\int_{1/3}^{3}\frac{3x+1}{2\sqrt{3x}}\,dx. \end{aligned}$$ ここで $u=\sqrt{3x}$ とおくと、$dx=2u\,du/3$ であり、積分区間は $1\leq u\leq3$ となる。よって $$\displaystyle L=\frac13\int_1^3(u^2+1)\,du =\frac13\left[\frac{u^3}{3}+u\right]_1^3 =\frac{32}{9}.$$ したがって、セ=1、ソ=3、タ=3、チ=2、ツ=9 である。