2東邦大学 2019年 数学 第2問解答・解説

45個の観測値を小さい順に並べたとき、中央値は23番目の値である。

値3、6、12の個数をそれぞれ $n_3,n_6,n_{12}$ とおくと、 $$n_3+n_6+n_{12}=45.$$

中央値が12のときは $n_{12}\geq23$ である。平均を最小にするには12を必要最小限の23個とし、残り22個をすべて3にすればよい。したがって $$\displaystyle \frac{23\cdot12+22\cdot3}{45}=\frac{342}{45}=\frac{38}{5}.$$

中央値が6のときは $n_3\leq22$ かつ $n_{12}\leq22$ である。平均を $\bar{x}$ とすると、 $$\displaystyle \bar{x}-6 =\frac{3n_3+6n_6+12n_{12}}{45}-6 =\frac{2n_{12}-n_3}{15}.$$ この値は、条件のもとで $$\displaystyle -\frac{22}{15}\leq \bar{x}-6\leq\frac{44}{15}$$ となる。右端は $(n_3,n_6,n_{12})=(0,23,22)$ で実現し、左端は $(22,23,0)$ で実現する。よって絶対値の最大値は $$\displaystyle \max\left(\frac{22}{15},\frac{44}{15}\right)=\frac{44}{15}.$$ よって、キ=3、ク=8、ケ=5、コ=4、サ=4、シ=1、ス=5 である。