4浜松医科大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 小さい順に並べると、} \begin{aligned} A:&\ 18,19,19,20,21,30,30,32,32,33,36,37,38,41,43,43,44,50,64,70,\\ B:&\ 19,24,24,30,34,35,42,43,46,48,54,63,65,74,80. \end{aligned} A\text{ は }20\text{ 個なので、中央の }10\text{ 番目と }11\text{ 番目の平均が中央値である。下位 }10\text{ 個・上位 }10\text{ 個の中央値をそれぞれ }Q_1,Q_3\text{ とすると、} \\ Q_{1,A}=\frac{21+30}{2}=25.5,\quad Q_{2,A}=\frac{33+36}{2}=34.5,\quad Q_{3,A}=\frac{43+43}{2}=43. \\ B\text{ は }15\text{ 個なので中央値は }8\text{ 番目の }43\text{。この中央値を除く下位・上位 }7\text{ 個ずつの中央値より、} \\ Q_{1,B}=30,\quad Q_{2,B}=43,\quad Q_{3,B}=63. \\ \text{したがって五数要約（最小値、}Q_1\text{、中央値、}Q_3\text{、最大値）は} \\ A:(18,25.5,34.5,43,70),\qquad B:(19,30,43,63,80). \\ \text{箱ひげ図は共通の横軸 }15\text{〜}80\text{ 上に、Aでは }18\text{ と }70\text{ をひげの端、}25.5\text{以上}43\text{以下の部分}\text{ を箱、}34.5\text{ を箱内の線として描く。Bでは }19\text{ と }80\text{ をひげの端、}30\text{以上}63\text{以下の部分}\text{ を箱、}43\text{ を箱内の線として描く。作図位置を模式的に書けば、} \\ A:\quad 18\;\text{—}\;[25.5\;\text{—}\;|34.5|\;\text{—}\;43]\;\text{—}\;70,\qquad B:\quad 19\;\text{—}\;[30\;\text{—}\;|43|\;\text{—}\;63]\;\text{—}\;80. \\[4pt] \text{(2) 四分位範囲は }A\text{ が }43-25.5=17.5,\ B\text{ が }63-30=33\text{ である。Bの箱の長さ（中央50\%の広がり）の方が大きいので、例えばこの点から傾向が異なると判断できる。} \\[4pt] \text{(3)(a) 定義から、} \\ \bar z=\frac1n\sum\limits _{i=1}^n\frac{x_i-\bar x}{s_x} =\frac{\sum\limits _{i=1}^n x_i-n\bar x}{ns_x}=0. \\ \text{よって} \\ s_z^2=\frac1n\sum\limits _{i=1}^n(z_i-\bar z)^2 =\frac1{ns_x^2}\sum\limits _{i=1}^n(x_i-\bar x)^2 =\frac{s_x^2}{s_x^2}=1, \qquad s_z=1. \\[4pt] \text{(3)(b) 各病院内で別々に標準化し、} \\ z_{A,i}=\frac{x_{A,i}-36}{13.8},\qquad z_{B,j}=\frac{x_{B,j}-45.4}{18.1} \\ \text{を作ってから、標準化値について比較・分析する方法がある。こうすれば、生のAST値をそのまま混ぜず、各病院内の平均から標準偏差何個分離れているかを比べられる。(a)より、各群の標準化値は平均0、標準偏差1となる（印刷された標準偏差は丸め値なので、実データで計算する場合は丸め前の値を用いる）。ただし、標準化値を合わせても基準範囲そのものが共通になるわけではない。正常範囲を判定する際は病院ごとの基準を保ち、統合後の値を共通の医学的基準と解釈しない。}$$