1浜松医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1)(a)で$A=(\alpha+\beta)/2, B=(\alpha−\beta)/2$とおくと、$\alpha=A+B,\beta=A−B$。加法定理から $$\displaystyle \sin\alpha−\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha−\beta}{2}.$$ (1)(b)では $$\displaystyle 0=\sin2\theta−\sin3\theta=−2\cos\frac{5\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}.$$ 範囲から$\sin(\theta/2)>0$、かつ$0<5\theta/2<225^\circ$なので$\cos(5\theta/2)=0$の候補は$5\theta/2=90^\circ$。よって$\theta=36^\circ$。$c=\cos36^\circ>0$とし、$\sin72^\circ=\sin108^\circ$を$\sin2\theta=\sin3\theta$に用いると $$\displaystyle 2c=4c^2−1,\qquad c=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ さらに積和公式で $$\displaystyle 2\sin6^\circ\sin66^\circ=\cos60^\circ−\cos72^\circ=\frac{3−\sqrt5}{4},\quad \sin54^\circ=\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ 従って積は$(\sqrt5−1)/16$。