1近畿大学 2010年 数学 第1問解答・解説

次の問いに答えよ。

座標平面に，原点を中心とし半径が1の円があり，その円周上に3点 $$\displaystyle A(1,0),\quad B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad C\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ をとる。円周上の弧 $BC$（点 $A$ を含まないほうの弧 $BC$）を考え，弧 $BC$ 上を点 $B$ から点 $C$ まで動く点を $P$ とする。$\angle PAB=\theta$ とし，点 $P$ と3点 $A,B,C$ を結ぶ3つの線分の長さを，それぞれ $PA,PB,PC$ とするとき，

(1) $PA,PB,PC$ は $$PA=\boxed{\text{ア}}\sin\left(\theta+\boxed{\text{イ}}\right),\quad PB=\boxed{\text{ウ}}\sin\theta,\quad PC=\boxed{\text{エ}}\sin\left(-\theta+\boxed{\text{オ}}\right)$$ と表すことができる。

(2) $PA+PB+PC=\boxed{\text{カ}}\sin\left(\theta+\boxed{\text{キ}}\right)$ と表すことができる。$PA+PB+PC$ の値は $\theta=\boxed{\text{ク}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ケ}}$ になる。

(3) $PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=\boxed{\text{コ}}$ である。

問題1の解答はマークシートのカタカナに対応した解答欄にマークしなさい。問題文中のア，イウなどには，特に指示がないかぎり，符号 $(- ,\pm)$ または数字 $(0,\ldots,9)$ が入る。ア，イ，ウ，…の一つ一つはこれらのいずれか一つに対応し，解答用紙の対応する解答欄にマークして答えなさい。解答欄の桁数が解答したい桁数よりも大きいときは右詰めで記載し，上位の桁は0をマークしなさい（例として，アイウに25と答えるときは025）。分数形で解答する場合，分数の符号は分子につけ，分母につけてはいけない。また，それ以上約分できない形で答えなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。