4山口大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) 正七角形を中心 $O$ から各頂点へ結ぶと、面積の等しい三角形7個に分かれる。各三角形の二辺は1、はさむ角は $2\pi/7$ だから、面積は $$\displaystyle 7\cdot\frac12\sin\frac{2\pi}{7}=\boxed{\frac{7\alpha}{2}}.$$

(2) 図より、 $Q_1\text{ は線分 }P_1P_4\text{ と線分 }P_2P_6\text{ の交点}$ である。円周角の定理から三角形 $P_1P_2Q_1$ の $P_1,P_2$ の角はそれぞれ $2\pi/7$、したがって $\angle P_1Q_1P_2=3\pi/7$。また $P_1P_2=2\sin(\pi/7)$ なので、正弦定理により $$\displaystyle P_1Q_1=2\sin\frac{\pi}{7}\frac{\sin(2\pi/7)}{\sin(3\pi/7)}.$$ 三角形 $OP_1P_4$ の頂角は $6\pi/7$ であるから、$\angle Q_1P_1H=\pi/14$。$x=\pi/14$ とおくと $$\displaystyle Q_1H=P_1Q_1\sin x=\frac{2\sin2x\sin4x\sin x}{\sin6x}.$$ $7x=\pi/2$ より $\sin6x=\cos x$、また積和公式から $$2\sin4x\sin3x=\cos x-\cos7x=\cos x=\sin6x.$$ したがって $$\displaystyle Q_1H=\frac{\sin x\sin2x}{\sin3x} =\frac{2\sin x\cos x}{3-4\sin^2x} =\frac{2\beta}{3-\beta^2}.$$

(3) 三角形 $P_1P_2Q_1$ は二等辺であり、$OP_1=OP_2=1$ でもあるため、三角形 $OP_1Q_1$ と $OP_2Q_1$ は合同である。よって $OQ_1$ は $\angle P_1OP_2$ の二等分線であり、$Q_1$ から半直線 $OP_1,OP_2$ までの距離はともに $Q_1H$。四角形 $OP_1Q_1P_2$ の面積は二つの三角形の和だから $Q_1H$ である。図形全体はこの領域を7回回転したものなので、求める面積は $$\displaystyle 7Q_1H=\boxed{\frac{14\beta}{3-\beta^2}}.$$