2旭川医科大学 2016年 数学 第2問解答・解説

解答 $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおく。$AB=2$ は円の直径だから $\angle ACB=90^\circ$ であり、$AC=2c,\ BC=2s$ である。

問1 $$\displaystyle [\triangle ABC]=\frac12(2c)(2s)=2sc=\sin2\theta.$$

問2 半周長を $p$ とすると $p=1+s+c$ なので、 $$\displaystyle r_1=\frac{[\triangle ABC]}p=\frac{2sc}{1+s+c}=s+c-1,$$ ここで $(s+c-1)(s+c+1)=2sc$ を用いた。

問3 接点 $E$ が辺 $AC$ の $C$ 側延長上にあり、$F$ が辺 $BC$ 上にあることから、$O_2$ は $A$ に対する傍接円で、$D$ は $B$ 側の $x$ 軸上にある。$\angle ACB=90^\circ$ なので、$C$ からこの円への接線長は $CE=CF=r_2$ である。また、$B$ と $A$ からの接線長の等しさより、 $$BD=BF=BC-CF=2s-r_2,\qquad AD=AB+BD=2+2s-r_2,$$ $$AD=AE=AC+CE=2c+r_2.$$ よって $$r_2=1+s-c,\qquad AD=1+s+c.$$

次に $r_2/r_1=2$ より $s+3c=3$。これと $s^2+c^2=1$ を解くと、$c=1$ または $c=4/5$ となるが、$0<\theta<\pi/2$ だから $$\displaystyle c=\frac45,\quad s=\frac35,\quad r_1=\frac25,\quad r_2=\frac45.$$

$h=\theta/2$ とする。内心 $I$ と $A$ 傍心 $J$ は $A$ の同じ角の二等分線上にあるので、$AI=r_1/\sin h$、$AJ=r_2/\sin h$。従って $IJ=(r_2-r_1)/\sin h$ である。また $OA=1$、$OA$ と二等分線のなす角は $h$ だから、$O$ から直線 $IJ$ までの距離は $\sin h$。底辺と高さから $$\displaystyle [\triangle OIJ]=\frac12\,IJ\,\sin h=\frac{r_2-r_1}{2}=\frac15.$$