2京都大学 2015年 数学 第2問解答・解説

四角形の内角のうち二つを直角とし、残る二角を $\theta$,$\pi$-$\theta$ (0<$\theta$<$\pi$) とする。各頂点から隣り合う二辺への接線の長さは等しく、半径が1なので、頂角を$\varphi$とすると接線長は$\cot$($\varphi$/2)である。したがって半周長 s は $$\displaystyle s=2+\cot\frac{\theta}{2}+\cot\frac{\pi-\theta}{2} =2+u+\frac1u =4+\frac{(u-1)^2}{u}\ge 4, \qquad u=\tan\frac{\theta}{2}>0.$$ 内心から各辺へ垂線を下ろして四つの三角形に分けると、四角形の面積は半径と半周長の積だから S=1$\cdot$ s$\ge$4。等号はu=1、すなわち残る二角も直角のときに成立する。このとき四つの頂点から接点までの長さはすべて1なので各辺は2、よって一辺2の正方形で面積4が実現する。