京都大学 2015年数学第4問解答・解説

図形と方程式ベクトル

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1問題

京都大学2015年度第4問

一辺の長さが1の正四面体ABCDにおいて，Pを辺ABの中点とし，点Qが辺AC上を動くとする。このとき， $\cos$ $\angle$ PDQ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

Dを原点にしたベクトル表示で余弦をtの式にし、平方完成した不等式で最大値と等号条件を示す。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{gathered}\text{Dを原点とし、}\vec a=\overrightarrow{DA},\quad \vec b=\overrightarrow{DB},\quad \vec c=\overrightarrow{DC}\text{ とおく。}\\\text{正四面体より }\left|\vec a\right|=\left|\vec b\right|=\left|\vec c\right|=1,\quad \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12.\\\text{ }Q=(1-t)A+tC\quad(0\le t\le1)\text{ と表すと、}\\\vec{DP}=\frac{\vec a+\vec b}{2},\quad \vec{DQ}=(1-t)\vec a+t\vec c,\\\left|\vec{DP}\right|^2=\frac34,\quad \vec{DP}\cdot\vec{DQ}=\frac{3-t}{4},\\\left|\vec{DQ}\right|^2=(1-t)^2+t^2+t(1-t)=1-t+t^2.\\\cos\angle PDQ=\frac{3-t}{2\sqrt{3}\sqrt{1-t+t^2}}>0.\\28(1-t+t^2)-3(3-t)^2=(5t-1)^2\ge0\\\text{ゆえに }\cos^2\angle PDQ\le \frac79.\\\text{等号は }t=\frac15\text{ で成立する。したがって最大値は }\frac{\sqrt7}{3}.\end{gathered}$

この問題で使う考え方

ベクトルの内積
空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察

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