3京都大学 2015年 数学 第3問解答・解説

(1) 接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=e^x+1$ の $x=t$ における接線は $$y=e^t(x-t)+e^t+1=e^t(x-t+1)+1$$ である。これが $(a,0)$ を通る条件は $$e^t(a-t+1)+1=0\quad\text{すなわち}\quad a=t-1-e^{-t}$$ である。ここで $g(t)=t-1-e^{-t}$ とおくと，$g$ は連続で $$g'(t)=1+e^{-t}>0$$ だから $t_1<t_2$ なら $g(t_1)<g(t_2)$ となる。また $$\displaystyle \lim\limits _{t\to-\infty}g(t)=-\infty,\qquad \lim\limits _{t\to\infty}g(t)=\infty.$$ したがって，中間値の定理により $g(t)=a$ を満たす実数 $t$ が存在し，異なる実数に対して同じ値をとらないことからその $t$ はただ1つである。よって条件を満たす接線もただ1つ存在する。

(2) 各 $n\ge1$ について，(1)で $a=a_n$，接点の座標 $t=a_{n+1}$ とすると $$a_n=a_{n+1}-1-e^{-a_{n+1}},\qquad a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}}>1.$$ $a_1=1$ なので，この不等式を繰り返すと $a_n\ge n$ であり，$a_n\to\infty$ である。したがって $e^{-a_{n+1}}\to0$ となり， $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=\lim\limits _{n\to\infty}(1+e^{-a_{n+1}})=1.$$