1山形大学 2007年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-b8577140ec33-Q1 結論　 $$\displaystyle \text{(1)}\quad y=e^{-ca}(1+ca-cx),\qquad \text{(2)}\quad a_{n+1}=\frac{n}{c},\quad S_n=\frac{e^{-(n-1)}}{c}\left(\frac12-\frac1e\right),\qquad \text{(3)}\quad \lim\limits _{n\to\infty}(A_n-B_n)=\frac{e-2}{2c(e+1)}.$$

(1) $f(x)=e^{-cx}$ とすると $f'(x)=-ce^{-cx}$ だから、点 $P(a,e^{-ca})$ における接線は $$g(x)=e^{-ca}-ce^{-ca}(x-a)=e^{-ca}(1+ca-cx).$$ $u=c(x-a)$ とおけば $$e^{-cx}-g(x)=e^{-ca}\bigl(e^{-u}-1+u\bigr).$$ $h(u)=e^{-u}-1+u$ とおくと、$h(0)=0$、$h'(u)=1-e^{-u}$ であり、$u<0$ では $h'(u)<0$、$u>0$ では $h'(u)>0$。したがって $h$ は $u=0$ で最小値0をとる。よってすべての実数 $x$ に対して $e^{-cx}\ge g(x)$。 (2) 点 $P_n$ における接線の $x$ 軸との交点は $$\displaystyle e^{-ca_n}(1+ca_n-cx)=0\quad\text{したがって}\quad a_{n+1}=a_n+\frac1c.$$ $a_1=0$ なので $\displaystyle a_n=\frac{n-1}{c}$、特に $\displaystyle a_{n+1}=\frac nc$。$a_n\le x\le a_{n+1}$ の範囲 では曲線が接線以上にあるから、$t=c(x-a_n)$ と変数変換すると $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\int_{a_n}^{a_{n+1}}\bigl(e^{-cx}-e^{-ca_n}(1-c(x-a_n))\bigr)\,dx\\ &=\frac{e^{-ca_n}}{c}\int_0^1(e^{-t}-1+t)\,dt\\ &=\frac{e^{-ca_n}}{c}\left(\frac12-\frac1e\right) =\frac{e^{-(n-1)}}{c}\left(\frac12-\frac1e\right). \end{aligned}$$ (3) $\displaystyle C=\frac1c(\frac12-\frac1e)$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} A_n-B_n &=C\sum\limits _{k=1}^n\left(e^{-(2k-2)}-e^{-(2k-1)}\right)\\ &=C(1-e^{-1})\sum\limits _{j=0}^{n-1}e^{-2j}\\ &=C(1-e^{-1})\frac{1-e^{-2n}}{1-e^{-2}}. \end{aligned}$$ $e^{-2}<1$ より $n\to\infty$ で $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(A_n-B_n)=C\frac{1-e^{-1}}{1-e^{-2}}=C\frac{e}{e+1}=\boxed{\frac{e-2}{2c(e+1)}}.$$