1旭川医科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

曲線 $C:y=e^{-x}$ 上の接点の $x$ 座標を $a$ とする。接線の傾きは $-e^{-a}$ だから、接線は $$y=e^{-a}-e^{-a}(x-a)=e^{-a}(1+a-x)$$ である。これが $(n,0)$ を通る条件から $a=n-1$ を得る。よって $$P_n=(n-1,e^{1-n}),\qquad L_n:y=e^{1-n}(n-x).$$ 隣り合う接線 $L_n,L_{n+1}$ の交点では $$e^{1-n}(n-x)=e^{-n}(n+1-x),$$ したがって $$\displaystyle Q_n=\left(n-\frac{1}{e-1},\frac{e^{1-n}}{e-1}\right).$$ 面積を求めるため $u=x-(n-1)$ とおくと、曲線は $e^{1-n}e^{-u}$、二つの接線はそれぞれ $e^{1-n}(1-u)$ と $e^{1-n}e^{-1}(2-u)$ である。接線の交点の $u$ 座標は $\displaystyle r=\frac{e-2}{e-1}$ で、$0<r<1$。よって $$\displaystyle S_n=e^{1-n}\left\{\int_0^r(e^{-u}-1+u)\,du+\int_r^1\left(e^{-u}-\frac{2-u}{e}\right)\,du\right\} =e^{1-n}\frac{e^2-3e+1}{2e(e-1)}.$$ ここで $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}e^{1-n}=\frac{1}{1-e^{-1}}=\frac{e}{e-1}$ だから、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\frac{e^2-3e+1}{2e(e-1)}\cdot\frac{e}{e-1}=\frac{e^2-3e+1}{2(e-1)^2}.$$