4旭川医科大学 2017年 数学 第4問解答・解説

各段階で空いている枠の重みを合計し、その合計で各重みを割って条件付き確率を得る。Aの重みは常に3、Dは1。BまたはCは、両隣が空いていれば3、少なくとも一方の隣に車があれば1である。

問1では最初の重みが$3,3,3,1$なので、$$\displaystyle P(\text{1台目がA})=\frac3{10}.$$

問2は3台目が入場した時点、すなわち駐車前の状態を見る。最初の2台がB,Dに駐車した場合であり、順序は$B\to D$または$D\to B$。最初にBを選ぶ確率は$3/10$、その後Dを選ぶ条件付き確率は$1/5$。最初にDを選ぶ確率は$1/10$、その後Bを選ぶ条件付き確率は$3/7$。よって $$\displaystyle P(\text{B,Dが埋まる})=\frac3{10}\cdot\frac15+\frac1{10}\cdot\frac37=\frac{18}{175}.$$

問3は4台目が入場した時点なので、最初の3台の駐車後を見る。Cが空いているのは状態$ABD$のときに限る。2台駐車後の状態確率は、各順序の積を足して $$\displaystyle P(AB)=\frac3{10}\cdot\frac15+\frac3{10}\cdot\frac35=\frac6{25},\quad P(AD)=\frac3{10}\cdot\frac15+\frac1{10}\cdot\frac37=\frac{18}{175},\quad P(BD)=\frac3{10}\cdot\frac15+\frac1{10}\cdot\frac37=\frac{18}{175}.$$ ABの後にDを選ぶ確率は$1/2$、ADの後にBを選ぶ確率は$1/2$、BDの後にAを選ぶ確率は$3/4$。したがって $$\displaystyle P(\text{Cが空})=P(ABD)=\frac6{25}\cdot\frac12+\frac{18}{175}\cdot\frac12+\frac{18}{175}\cdot\frac34=\frac{87}{350}.$$