3山口大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle \alpha=\sin\frac{\pi}{10}+i\cos\frac{\pi}{10}$。絶対値は1であり、$\displaystyle \cos\frac{2\pi}{5}=\sin\frac{\pi}{10}$、$\displaystyle \sin\frac{2\pi}{5}=\cos\frac{\pi}{10}$より $$\displaystyle \boxed{\alpha=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}} =\operatorname{cis}\frac{2\pi}{5}.$$

(2) $\alpha$は位数5の1の原始5乗根なので、$\alpha^{k\ell}=1$は$5\mid k\ell$と同値。サイコロの目$1,2,3,4,5,6$では、積が5の倍数となるには少なくとも一方が5であればよい。順序付き36通り中、その数は$6+6-1=11$。よって $$\displaystyle \boxed{\frac{11}{36}}.$$

(3) $\alpha^k$は$k$を5で割った余りだけで決まり、異なるためには3つの目の5を法とする剰余が互いに異なればよい。各剰余の出方は、剰余1が2通り（1,6）、その他の剰余0,2,3,4が各1通り。

剰余1を含む剰余クラスの3個組は$\displaystyle \binom42=6$組で、各組の出方は$3!\cdot2=12$通り。剰余1を含まない組は$\displaystyle \binom43=4$組で各$3!=6$通り。したがって有利な順序付き結果は$6\cdot12+4\cdot6=96$通りで、確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{96}{6^3}=\frac49}.$$

高校範囲・論証： 三角比で複素数の極形式を求め、原始5乗根の性質とサイコロの全事象の数え上げを用いた。単元： 数学III「複素数平面」、数学A「場合の数と確率」。方法： 余り類による分類と順序付き結果の計数。定理・公式： 複素数の極形式・ド・モアブルの定理、確率の古典的定義。テーマ： 1の5乗根とサイコロの確率。