2山口大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1)　 $\displaystyle \frac{AE}{AC}$=1-y,　 $\displaystyle \frac{AF}{AB}$=z なので、同じ角 A をはさむ二辺の比から $$\displaystyle \frac{S_1}{[ABC]}=z(1-y).$$ ここで $[ABC]$=1 より、与えられた値を代入して $\displaystyle S_1=\frac13\cdot\frac13=\frac19$。

三角形 AFE, BDF, CDE と DEF は ABC を分割する。各頂点の角をはさむ二辺の比から $$\displaystyle \frac{[AFE]}{[ABC]}=z(1-y),\quad \frac{[BDF]}{[ABC]}=x(1-z),\quad \frac{[CDE]}{[ABC]}=y(1-x).$$ したがって $$\displaystyle S_2=1-z(1-y)-x(1-z)-y(1-x)=\frac29.$$

(2)　 同じ分割と面積比より $$\begin{aligned}S_2&=1-z(1-y)-x(1-z)-y(1-x)\\&=1-x-y-z+xy+yz+zx\\&=xyz+(1-x)(1-y)(1-z).\end{aligned}$$

(3)　 A を原点とし、$\overrightarrow{AB}$=$\boldsymbol b$, $\overrightarrow{AC}$=$\boldsymbol c$ とおく。点の内分比より $$\overrightarrow{AD}=(1-x)\boldsymbol b+x\boldsymbol c,\quad \overrightarrow{AE}=(1-y)\boldsymbol c,\quad \overrightarrow{AF}=z\boldsymbol b.$$ よって DEF の重心の位置ベクトルは $$\displaystyle \frac{(1-x+z)\boldsymbol b+(x+1-y)\boldsymbol c}{3}.$$ 一方、ABC の重心の位置ベクトルは ($\boldsymbol b$+$\boldsymbol c$)/3 である。$\boldsymbol b$,$\boldsymbol c$ は一次独立なので、重心が一致する条件は $$1-x+z=1,\quad x+1-y=1,$$ すなわち $x=y=z=t$ である。これを(2)の式と $\displaystyle S_2=\frac13$ に代入すると $$\displaystyle t^3+(1-t)^3=1-3t+3t^2=\frac13,\quad (3t-1)(3t-2)=0.$$ したがって $\displaystyle t=\frac13$ または $\displaystyle t=\frac23$。どちらも $0<t<1$ を満たすので、求める組は $$\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac13,\frac13,\frac13\right),\quad \left(\frac23,\frac23,\frac23\right).$$