3秋田大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(i) 内分の定義から $\displaystyle \overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA},\quad \overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OC},\quad \overrightarrow{OR}=\frac14\overrightarrow{OB}$。 平行四辺形$ABCD$では$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{RP}&=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OR}=s\overrightarrow{OA}-\frac14\overrightarrow{OB},\\ \overrightarrow{RQ}&=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OR}=t\overrightarrow{OC}-\frac14\overrightarrow{OB},\\ \overrightarrow{RD}&=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\frac54\overrightarrow{OB}. \end{aligned}$$

(ii) 四面体 OABC が退化していないので、$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$ は一次独立である。P,R,Q,D が同一平面上にあることは、$\overrightarrow{RP}$,$\overrightarrow{RQ}$,$\overrightarrow{RD}$ が一次従属であることと同値である。そこで $\lambda\overrightarrow{RP}+\mu\overrightarrow{RQ}+\nu\overrightarrow{RD}=\vec0$ となる係数（全てが 0 ではない）を考える。(i) の式を代入して各基底ベクトルの係数を比較すると $$s\lambda+\nu=0,\qquad \lambda+\mu+5\nu=0,\qquad t\mu+\nu=0.$$ $\lambda=0$なら$\nu=\mu=0$となるため$\lambda\ne0$。第一・第三式から$\displaystyle \nu=-s\lambda,\quad \mu=\frac{s\lambda}{t}$であり、第二式は $$\displaystyle 1+\frac{s}{t}-5s=0\quad\text{すなわち}\quad s(5t-1)=t.$$ となる。よって $\displaystyle s=\frac{t}{5t-1}$。 逆に$s+t=5st$なら$(\lambda,\mu,\nu)=(t,s,-st)$はこの係数方程式を満たす非自明解である。したがって$s+t=5st$は共面条件と同値である。 さらに$0<s<1,\quad 0<t<1$より分母は正で、$\displaystyle \frac{t}{5t-1}<1$だから$\displaystyle t>\frac14$。従って許される範囲は$\displaystyle \frac14<t<1$である。

(iii) $O$ を共通頂点とし、$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA},\quad \overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OC}$ なので、底辺・高さ（または二辺とそのなす角）を用いると $\displaystyle \frac{[\triangle OPQ]}{[\triangle OAC]}=st$。 条件から $\displaystyle st=\frac16$。これと (ii) の関係 $s+t=5st$ を合わせると $\displaystyle s+t=\frac56$。よって $s,t$ は $$\displaystyle z^2-\frac56z+\frac16=0\quad(\text{すなわち})\quad(3z-1)(2z-1)=0$$ の2根である。したがって $\displaystyle \{s,t\}=\{\frac13,\frac12\}$ となり、求める値は $\displaystyle s=\frac13\quad\text{または}\quad s=\frac12$。