秋田大学 2017年数学第7問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

秋田大学2017年度第7問

n を自然数とする。次の問いに答えよ。

(i) $8^{n}$ を11で割った余りが3となる $n$ をすべて求めよ。

(ii) $11^{n}$ を 17 で割った余りが 4 となる n をすべて求めよ。

(iii) (i)の条件と(ii)の条件を同時に満たす n をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(i) n=10k+6$ 。 $(ii) n=16k+4$ 。 $(iii) n=80k+36$ （ $k=0,1,2,...$ ）。
$(i)\space{}n=10k+6$
$(ii)\space{}n=16k+4$
$(iii)\space{}n=80k+36\qquad(k=0,1,2,\ldots)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) $8^5=32768\equiv-1\pmod{11}$ なので $8^{10}\equiv1\pmod{11}$ 。 $r=0,\ldots,9$ に対する余りは $(8^r\bmod11)=(1,8,9,6,4,10,3,2,5,7).$ 余り3は $r=6$ のときだけなので、 $n=10k+6$ （ $k\ge0$ ）。

(ii) $11^{16}\equiv1\pmod{17}$ で、 $r=0,\ldots,15$ に対する余りは $(11^r\bmod17)=(1,11,2,5,4,10,8,3,16,6,15,12,13,7,9,14).$ 余り4は $r=4$ のときだけである。よって $n=16k+4$ （ $k\ge0$ ）。

(iii) (i)の $n=10q+6$ を $n\equiv4\pmod{16}$ に代入すると $10q+6\equiv4\pmod{16} \quad\text{すなわち}\quad 5q\equiv7\pmod8 \quad\text{すなわち}\quad q\equiv3\pmod8.$ したがって $q=8k+3$ であり、 $\boxed{n=80k+36\quad(k=0,1,2,\ldots)}.$

この問題で使う考え方

累乗の周期性
合同式
連立合同条件の整理

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