5広島大学 2017年 数学 第5問解答・解説

格子点 $P=(x,y)$ の条件は $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}=6$、ただし $A=(50,14)$ だから $$50x+14y=6,\qquad 25x+7y=3.$$ (1) $P=(6,-21)$ はこの式を満たす。

(2) $4x\equiv3\pmod 7$ より $x\equiv6\pmod7$。全格子点は $$P(t)=(7t+6,-25t-21),\quad t\text{ は整数},$$ であり、原点からの距離の2乗は $$N(t)=674t^2+1134t+477.$$ 任意の整数 $n\ge0$ に対し $$\begin{aligned} N(-n-1)&=674n^2+214n+17,\\ N(n)&=674n^2+1134n+477,\\ N(-n-2)&=674n^2+1562n+905. \end{aligned}$$ よって $N(-n-1)<N(n)<N(-n-2)$。従って距離の小さい順の媒介変数は$$-1,0,-2,1,-3,2,\ldots$$となり、$$P_1=(-1,4),\qquad P_2=(6,-21)$$である。一般に $$P_{2k-1}=(6-7k,-21+25k),\qquad P_{2k}=(7k-1,4-25k).$$

(3) この式から $$\overrightarrow{P_{2k}P_{2k+1}}=(-14k,50k),\qquad \overrightarrow{P_{2k}P_{2k+2}}=(7,-25).$$

(4) $P_{14}=(48,-171), P_{16}=(55,-196)$ なので、$Q=(7,-25)$。周および内部の点は一意に $$(x,y)=s(7,-25)+t(48,-171),\quad 0\le s,t\le1$$ と表される。係数は $$\displaystyle s=\frac{-171x-48y}{3},\qquad t=\frac{25x+7y}{3}.$$ $x,y$ が整数なら $s=i/3,t=j/3$ として整数 $i,j$ を用いられる。範囲から $0\le i,j\le3$。また $x=(7i+48j)/3$ が整数となるには $i\equiv0\pmod3$ が必要だから $i=0,3$。これらに $j=0,1,2,3$ を代入すると、格子点は $$\begin{gathered}(0,0),(16,-57),(32,-114),(48,-171),\\(7,-25),(23,-82),(39,-139),(55,-196)\end{gathered}$$ の8点であり、条件から網羅される。