北里大学／2021年度／一般

北里大学 2021年数学第1問解答・解説

数と式三角関数微分法積分法数学と人間の活動（整数）ベクトル平面上の曲線と複素数平面

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1問題

北里大学2021年度第1問

つぎの $\square$ にあてはまる答を下の解答欄に記せ。

(1) 1辺の長さが4の正四面体 $ABCD$ において、辺 $BC$ の中点を $E$ とおく。動点 $P$ は $\displaystyle PE=\frac{1}{2}AE$ を満たしながら $\triangle AED$ の内部および周上を動くものとし、 $\angle PED=\theta$ とおく。このとき $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=\boxed{\text{ア}}$ である。また、 $\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}$ を $\theta$ を用いて表すと $\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}=\boxed{\text{イ}}$ であり、その最大値は $\boxed{\text{ウ}}$ である。 $\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}$ が最大となるときの点 $P$ と平面 $ACD$ の距離は $\boxed{\text{エ}}$ である。

(2) $i$ を虚数単位とし、 $\displaystyle z_1=\frac{(\sqrt{3}+i)^{17}}{(1+i)^{19}(1-\sqrt{3}i)^7},\quad z_2=-1+i$ とする。 $z_1$ の偏角 $\theta$ のうち $0\leq\theta<2\pi$ を満たすものは $\theta=\boxed{\text{オ}}$ であり、 $|z_1|=\boxed{\text{カ}}$ である。複素数平面上で $z_1,z_2$ を表す点をそれぞれ $A,B$ とする。このとき線分 $AB$ を1辺とする正三角形 $ABC$ の、頂点 $C$ を表す複素数の実部は0または $\boxed{\text{キ}}$ である。

$a,b$ を正の整数とし、複素数 $\displaystyle \frac{(\sqrt{3}+i)^7}{(1+i)^a(1-\sqrt{3}i)^b}$ の偏角の1つが $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ であるとき、 $a+b$ の最小値は $\boxed{\text{ク}}$ である。

(3) $0\leq\theta<2\pi$ のとき、関数 $f(\theta)=2\cos\theta(\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta)$ の最大値は $\boxed{\text{ケ}}$ である。 $\displaystyle g(x,y)=\frac{2\sqrt{3}xy+2x^2}{x^4+2x^2y^2+y^4+1}$ について考える。 $a$ を正の定数とし、点 $(x,y)$ が円 $x^2+y^2=a^2$ 上を動くとき、 $g(x,y)$ の最大値は $a$ を用いて $\boxed{\text{コ}}$ と表される。また、点 $(x,y)$ が $xy$ 平面全体を動くとき、 $g(x,y)$ の最大値は $\boxed{\text{サ}}$ である。

(4) 関数 $f(x)$ は微分可能であり、すべての実数 $x$ について $\displaystyle f(x)=e^{2x+1}+4\int_0^x f(t)\,dt$ を満たすとする。関数 $g(x)$ を $g(x)=e^{-4x}f(x)$ により定めるとき、 $g'(x)=\boxed{\text{シ}}$ であり、 $f(x)=\boxed{\text{ス}}$ である。また、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は $\boxed{\text{セ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) ア
-1
(1) イ
$3-6\cos\theta$
(1) ウ
1
(1) エ
$\displaystyle \frac{\sqrt6}{3}$
(2) オ
$\displaystyle \frac{5\pi}{12}$
(2) カ
$\sqrt2$
(2) キ
$\displaystyle \frac{\sqrt3-3}{2}$
(2) ク
8
(3) ケ
3
(3) コ
$\displaystyle \frac{3a^2}{a^4+1}$
(3) サ
$\displaystyle \frac32$
(4) シ
$2e^{1-2x}$
(4) ス
$2e^{4x+1}-e^{2x+1}$
(4) セ
$\displaystyle \frac{7\pi e^2}{96}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $EB=EC=2$ 、 $AE=DE=2\sqrt3$ で、 $\displaystyle |PE|=\frac12AE=\sqrt3$ 。 $E$ を原点とし $\boldsymbol b=\overrightarrow{EB}$ 、 $\boldsymbol p=\overrightarrow{EP}$ とおくと $\overrightarrow{EC}=-\boldsymbol b$ 。したがって $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}=(\boldsymbol b-\boldsymbol p)\cdot(-\boldsymbol b-\boldsymbol p)=|\boldsymbol p|^2-|\boldsymbol b|^2=3-4=-1.$ また $BC\perp$ 平面 $AED$ なので $\overrightarrow{EC}$ は $\overrightarrow{EP},\overrightarrow{ED}$ の双方に垂直。 $\theta=\angle PED$ より $\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}=|PE|^2-\overrightarrow{EP}\cdot\overrightarrow{ED}=3-6\cos\theta.$ $\theta$ は0から $\angle AED$ まで動き、余弦定理から $\displaystyle \cos\angle AED=\frac{12+12-16}{24}=\frac13$ 。ゆえに最大値は $\displaystyle 3-6\cdot\frac13=1$ 。最大点は $P$ が $AE$ の中点のとき。正四面体の高さは $\displaystyle 4\sqrt{\frac23}$ 。面 $ACD$ までの距離は、まず $E$ でその半分、さらに $P$ で半分となるから $\displaystyle \frac14\cdot4\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}$ 。

(2) $\sqrt3+i=2e^{i\pi/6}$ 、 $1+i=\sqrt2e^{i\pi/4}$ 、 $1-\sqrt3i=2e^{-i\pi/3}$ より $\displaystyle \arg z_1=\frac{17\pi}{6}-\frac{19\pi}{4}+\frac{7\pi}{3}=\frac{5\pi}{12},\qquad |z_1|=\frac{2^{17}}{2^{19/2}2^7}=\sqrt2.$ よって $\displaystyle z_1=\frac{\sqrt3-1}{2}+i\frac{\sqrt3+1}{2}$ 、 $z_2=-1+i$ 。正三角形の第三頂点は複素数表示で $\displaystyle z_C=\frac{z_1+z_2}{2}\mathbin{\pm}\frac{\sqrt3}{2}i(z_2-z_1).$ その実部は $0$ と $\displaystyle \frac{\sqrt3-3}{2}$ 。

最後の複素数の偏角条件は $\displaystyle \frac{7\pi}{6}-\frac{a\pi}{4}+\frac{b\pi}{3}\equiv\frac{\pi}{12}\pmod{2\pi}, \quad 3a-4b\equiv13\pmod{24}.$ これより $a\equiv3\pmod4$ 。最小候補 $a=3$ のとき $b\equiv5\pmod6$ なので最小は $b=5$ 。従って $a+b$ の最小値は $8$ 。

(3) $f(\theta)=\sqrt3\sin2\theta+1+\cos2\theta\le1+2=3,$ 等号は $\displaystyle 2\theta=\frac{\pi}{3}$ などで成立。

極座標 $x=r\cos\varphi,y=r\sin\varphi$ とすれば $\displaystyle g(x,y)=\frac{r^2(1+\cos2\varphi+\sqrt3\sin2\varphi)}{r^4+1}.$ 角度部分の最大値は3なので、 $r=a$ では $\displaystyle \frac{3a^2}{a^4+1}$ 。平面全体では $t=r^2\ge0$ として $\displaystyle \frac{3t}{t^2+1}\le\frac32$ （ $(t-1)^2\ge0$ ）より最大値 $\displaystyle \frac32$ 。

(4) 元の式を微分すると $f'(x)=2e^{2x+1}+4f(x)$ 。従って $g(x)=e^{-4x}f(x)$ に対し $g'(x)=e^{-4x}(f'-4f)=2e^{1-2x}.$ また $f(0)=e$ なので $g(0)=e$ 。積分して $g(x)=2e-e^{1-2x},\qquad f(x)=2e^{4x+1}-e^{2x+1}=e^{2x+1}(2e^{2x}-1).$ 曲線と両座標軸で囲まれる範囲は $\displaystyle -\frac12\ln2\le x\le0$ 。回転体の体積は $\displaystyle \pi\int_{-\frac12\ln2}^{0} f(x)^2\,dx =\pi e^2\left[\frac12e^{8x}-\frac23e^{6x}+\frac14e^{4x}\right]_{-\frac12\ln2}^{0} =\frac{7\pi e^2}{96}.$

この問題で使う考え方

対称性と直交座標
極形式と偏角
正三角形の複素数表示
合同式
二倍角公式
極座標・不等式
積分方程式を微分して解く
回転体の体積積分

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