4京都府立医科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

A(1)　 $z^2+mz+n=0$より$z^2=-mz-n$である。したがって $$z^3=-mz^2-nz=m(mz+n)-nz=(m^2-n)z+mn,$$ ゆえに$z^3+(n-m^2)z-mn=0$。$p=n-m^2,\ q=-mn$は整数だから条件(D)を満たす。

A(2)　 $\alpha=\sqrt[3]{2}$とする。$\alpha^3=2$なので$p=0,\ q=-2$とすれば条件(D)を満たす。一方、条件(C)を満たすと仮定して整数$m,n$で$\alpha^2+m\alpha+n=0$とする。この式に$\alpha$を掛け、$\alpha^3=2$と元の式を代入すると $$(n-m^2)\alpha+2-mn=0.$$ $\alpha$は無理数で係数は整数だから、$n=m^2,\ mn=2$が必要である。よって$m^3=2$となるが、整数$m$では不可能。したがって条件(C)は満たさない。

A(3)　 $f(x)=x^3+px+q$とおく。$z=1,-1$はそれぞれ$x^3-1=0,\ x^3+1=0$で実現する。次に単位円上の非実数の根$z$を考えると、実係数より$\bar z$も根であり、$z\bar z=1$。残る一次因子の根を$r$とすると、根と係数の関係から $$z+\bar z+r=0,\qquad z\bar z r=-q.$$ したがって$r=-q$は整数であり、$r=-2\operatorname{Re}z$かつ$-2<r<2$だから$r=-1,0,1$。二次因子は $$(x-z)(x-\bar z)=x^2+rx+1.$$ 従って各場合は$x^2-x+1=0,\ x^2+1=0,\ x^2+x+1=0$となり、全候補は $$\displaystyle z=1,-1,\pm i,\frac{1\pm i\sqrt3}{2},\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}.$$ 実際、$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$、$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$、$x^3+x=x(x^2+1)$であり、これらはすべて整数係数の条件(D)を満たす。

B(1)　 接点を$P$、$\angle ACP=\theta$とする。$CP=1$は床に垂直で、滑らずに進んだ弧長は水平移動距離に等しい。初期接点は$A=(0,0)$、弧長は半径1、中心角$\theta$より$\theta$なので$P=(\theta,0)$、$C=(\theta,1)$。配置から$\overrightarrow{CA}=(-\sin\theta,-\cos\theta)$となるから $$A=(\theta-\sin\theta,\ 1-\cos\theta).$$

B(2)　 各円弧の中心角は$\pi/3$、半径は1なので、一つの円弧が転がる水平距離は$\pi/3$。一回転で弧$AB,BC,CA$が各一度転がり、合計距離は$\pi$。3回の弧転がりと3頂点での支点回転で本体の向きは一周して戻る。最後の支点は点$A$なので、点$A$は動かず終点は $$A=(\pi,0).$$

B(3)　 各区間で$y\ge0$、$x$は増加するから面積を$\displaystyle S=\sum\int y\,dx$で求める。最初の弧$AB$では $$\displaystyle S_1=\int_0^{\pi/3}(1-\cos\theta)^2\,d\theta =\left[\frac{3\theta}{2}-2\sin\theta+\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/3} =\frac{\pi}{2}-\frac{7\sqrt3}{8}.$$ 頂点$B=(\pi/3,0)$を支点に時計回り角$t$だけ回る間、 $$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+\cos\left(\frac{5\pi}{6}-t\right),\quad y=\sin\left(\frac{5\pi}{6}-t\right),$$ よって $$\displaystyle S_B=\int_0^{\pi/3}\sin^2\left(\frac{5\pi}{6}-t\right)dt =\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}.$$ 弧$BC$が転がるとき点$A$は高さ1の水平線上を$\pi/3$進むから$S_{BC}=\pi/3$。頂点$C=(2\pi/3,0)$を支点とする回転では $$\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}+\sin t,\quad y=\cos t,\quad S_C=\int_0^{\pi/3}\cos^2t\,dt=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}.$$ 弧$CA$が転がる間、中心$B$は高さ1で右へ進み、始点で$\overrightarrow{BA}=(\sqrt3/2,-1/2)$。したがって $$\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}+t+\cos\left(\frac{\pi}{6}+t\right),\quad y=1-\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right),$$ $$\displaystyle S_{CA}=\int_0^{\pi/3}\left(1-\sin\left(\frac{\pi}{6}+t\right)\right)^2dt =\frac{\pi}{2}-\frac{7\sqrt3}{8}.$$ 最後に点$A$を支点とする回転の寄与は0である。よって $$\displaystyle S=S_1+S_B+S_{BC}+S_C+S_{CA} =\frac{5\pi}{3}-\frac{3\sqrt3}{2}.$$ ここでは$\sin^2u=(1-\cos2u)/2,\ \cos^2u=(1+\cos2u)/2$を用いた。