3京都府立医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

正方形の面を $ABCD$、$AB$ 上の二等辺三角形の頂点を $E$、$CD$ 上の二等辺三角形の頂点を $F$ とする。台形の平行な辺は長さ $a$ と $1$ である。実際、長さ1の辺同士が平行なら、その二辺は等しい平行辺となるので台形は平行四辺形になり、残る辺の長さも等しくなるが、これは $a>1$ に反する。よって $EF$ は正方形の面に平行で、長さ1である。 $$A=(0,0,0),\quad B=(a,0,0),\quad C=(a,a,0),\quad D=(0,a,0)$$ とし、$E=(x,y,h), F=(x,y+1,h)$ とおく。$EA=EB=1$ より $x=a/2$。また $FD=FC=1$ なので、$EA=FD$ を用いると $y^2=(y+1-a)^2$。$a>1$ から $y=(a-1)/2$ を得る。したがって $$\displaystyle h^2=EA^2-\left(\frac a2\right)^2-y^2=1-\frac{a^2}{4}-\frac{(a-1)^2}{4}=\frac{3+2a-2a^2}{4},\qquad h=\frac12\sqrt{3+2a-2a^2}.$$ これで (1) を得る。

台形面と正方形面の交線に垂直な断面をとると、$\tan\theta_1=h/(a/2)=2h/a$。同様に、二等辺三角形面と正方形面の交線に垂直な断面では、底辺の中点から頂点 $E$ への正方形面内のずれが $y=(a-1)/2$ だから、$\tan\theta_2=h/y=2h/(a-1)$。両角は鋭角である。よって $\theta_1+\theta_2=\pi/2$ は $\tan\theta_1\tan\theta_2=1$、すなわち $4h^2=a(a-1)$ と同値である。(1)を代入して $$3+2a-2a^2=a(a-1)\quad\text{すなわち}\quad a^2-a-1=0.$$ 条件 $a>1$ を満たす解は $a=(1+\sqrt5)/2$ である。このとき $h=1/2$ となり、実際に $a(a-1)=1=4h^2$ なので条件も確かめられる。

(3)では、$A$ から境界面を三角形分割すると $F$ は四面体 $ACDF, ABCF, ABFE$ に分かれる。それぞれの体積は順に $a^2h/6,a^2h/6,ah/6$ である。したがって $$\displaystyle V_F=\frac{2a^2h+ah}{6}=\frac{(2a^2+a)h}{6}.$$ 立方体の各面に $F$ を1個ずつ貼るので、できる正十二面体の体積は $$a^3+6V_F=a^3+(2a^2+a)h.$$ $a=(1+\sqrt5)/2$ では $a^2=a+1$、$a^3=2+\sqrt5$、$h=1/2$ だから $$\displaystyle a^3+(2a^2+a)h=2+\sqrt5+\frac{7+3\sqrt5}{4}=\frac{15+7\sqrt5}{4}.$$ 外側の面の辺はすべて長さ1であり、求める体積は $\boxed{(15+7\sqrt5)/4}$ である。