I順天堂大学 2015年 数学 第I問解答・解説

(1) 2点 $A(1,3)$，$B(4,9)$ を通る直線の傾きは $$\displaystyle \frac{9-3}{4-1}=2$$ であるから，その式は $y=2x+1$ である。また，指定された放物線は $$g(x)=(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$$ である。よって一般形は $$y=2x+1+\alpha(x^2-5x+4)$$ となる。点 $C(-1,9)$ を代入すると $9=-1+10\alpha$ より $\alpha=1$ である。

3点 $A,B,C$ を通る2次式は $x^2-3x+5$ であり，3点で0となる最高次係数1の3次式は $$(x-1)(x-4)(x+1)=x^3-4x^2-x+4$$ である。よって $a=1,b=-3,c=5,d=-4,e=-1,f=4$ となる。前者は $x=1,4,-1$ でそれぞれ $3,9,9$ をとり，後者は同じ3点で0となる。

(2) 直立した円錐の体積は $$\displaystyle \frac13\pi\cdot2^2\cdot4=\frac{16}{3}\pi$$ である。頂点を $O=(0,0,0)$，底面を $z=4$ とすれば，側面は $$\displaystyle x^2+y^2=\frac14z^2$$ であり，$A=(2,0,4)$，$B=(-2,0,4)$ である。

傾けた後は $OB$ が鉛直方向で，水面はこれに垂直な平面である。水面の縁は底面の円周上で最も低い点 $A$ を通るので， $$\displaystyle (-2,0,4)\cdot((x,y,z)-(2,0,4))=0, \qquad z=\frac12x+3.$$ 直線 $OB$ 上の点を $(-2\lambda,0,4\lambda)$ とおくと，水面との交点では $4\lambda=-\lambda+3$ より $\lambda=3/5$ である。したがって $C=(-6/5,0,12/5)$，$OC=(3/5)\cdot2\sqrt5=6\sqrt5/5$。

水面を円錐の式に代入して平方完成すると $$\displaystyle 15x^2-12x+16y^2-36=0,\qquad 15\left(x-\frac25\right)^2+16y^2=\frac{192}{5}.$$ 平面内の $x$ 方向の距離倍率は $\sqrt{1+(1/2)^2}=\sqrt5/2$ なので，楕円の半軸は $$\displaystyle \frac85\cdot\frac{\sqrt5}{2}=\frac{4\sqrt5}{5},\qquad \sqrt{\frac{12}{5}}=\frac{2\sqrt{15}}5.$$ 従って長軸と短軸は $8\sqrt5/5$，$4\sqrt{15}/5$，面積は $8\sqrt3\pi/5$ である。水は頂点 $O$，底面 $E$ の円錐部分であり，高さは鉛直な $OC$ だから，残る量は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac{8\sqrt3}{5}\pi\cdot\frac{6\sqrt5}{5} =\frac{16\sqrt{15}}{25}\pi.$$

(3) 第1象限では $P=(t,0)$，$Q=(0,\sqrt{1-t^2})$，$0\leq t\leq1$ である。固定した $x$ に対し，線分上の点は $$\displaystyle y(t)=\left(1-\frac xt\right)\sqrt{1-t^2},\qquad x\leq t\leq1$$ を満たす。微分すると $$\displaystyle y'(t)=\frac{x-t^3}{t^2\sqrt{1-t^2}},$$ よって $0<x<1$ では $t=x^{1/3}$ で最大となる。この点は $x\leq x^{1/3}\leq1$ を満たし， $$\displaystyle y_{\max}=(1-x^{2/3})^{3/2}.$$ したがって第1象限の範囲は $x^{2/3}+y^{2/3}\leq1$ であり，端点も含む。軸対称に全範囲を得る。よって $a=1,b=-1,c=2,d=1,e=3,f=2/3$。 【(4)の条件付き解に用いる解説上の仮定】以下の(4)の計算では、解説上の仮定として点A,B,C,Dは同一平面上、すなわち点Dは平面ABC上にあるものとする。この条件が原文に明記されているかは未確定であり、原文に条件を追加したという意味ではない。

(4) $\boldsymbol b=\overrightarrow{AB}$，$\boldsymbol c=\overrightarrow{AC}$，$\boldsymbol d=\overrightarrow{AD}$ とする。条件から $|\boldsymbol b|^2=12$，$|\boldsymbol c|^2=8$，$\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=6-2\sqrt3$，$\boldsymbol b\cdot\boldsymbol d=6$，$\boldsymbol c\cdot\boldsymbol d=4$ である。$\boldsymbol d=u\boldsymbol b+v\boldsymbol c$ とおいて連立すると $$12u+(6-2\sqrt3)v=6,\qquad(6-2\sqrt3)u+8v=4,$$ より $u=1-\sqrt3/3$，$v=(\sqrt3-1)/2$。したがって $$AD^2=\boldsymbol d\cdot\boldsymbol d=6u+4v=4$$ より $AD=2$。また $$BC^2=|\boldsymbol b-\boldsymbol c|^2=8+4\sqrt3=(\sqrt6+\sqrt2)^2,\quad CD^2=|\boldsymbol d-\boldsymbol c|^2=4,$$ $$\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD} =(\boldsymbol b-\boldsymbol c)\cdot(\boldsymbol d-\boldsymbol c)=4+2\sqrt3.$$ よって $$\displaystyle \cos\angle BCD=\frac{4+2\sqrt3}{2(\sqrt6+\sqrt2)} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$ 三角形の内角なので正弦は正であり， $$\displaystyle \sin\angle BCD=\sqrt{1-\cos^2\angle BCD} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

【(4)の原文解釈に関する留保と空間反例】 原文に点Dが平面ABC上にあるとの明記は確認できていない。空間内の点を許す読みでは、次の配置が同じ長さ・内積条件を満たす。 $$A=(0,0,0),\quad B=(2\sqrt3,0,0),\quad C=(\sqrt3-1,\sqrt3+1,0),\quad D_h=(\sqrt3,1,h)\quad(h\text{ は実数}).$$ $\boldsymbol b=\overrightarrow{AB},\ \boldsymbol c=\overrightarrow{AC},\ \boldsymbol d_h=\overrightarrow{AD_h}$ とすると、任意の $h$ について $$|\boldsymbol b|^2=12,\quad |\boldsymbol c|^2=8,\quad \boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=6-2\sqrt3,\quad \boldsymbol b\cdot\boldsymbol d_h=6,\quad \boldsymbol c\cdot\boldsymbol d_h=4,$$ 一方で $$AD_h^2=|\boldsymbol d_h|^2=4+h^2.$$ したがって $h=0$ では $AD=2$、$h=1$ では $AD=\sqrt5$ となり、空間を許すと長さは一意に決まらない。また、この配置では $$\displaystyle \sin^2\angle BCD_h=\frac{2-\sqrt3+h^2}{4+h^2},$$ よって角の値も変わる。これは原文が空間内の点を意図したと断定するものではない。原文の平面解釈は未確定であり、上の(4)の結論は解説側で同一平面を仮定した場合に限る条件付き解である。無条件の一意解や無条件PASSとして扱わない。