II順天堂大学 2015年 数学 第II問解答・解説

関数 $g(x)=x^3-3x$ は $g''(x)=6x$ より変曲点 $(0,0)$ をもち、$g'(x)=3(x^2-1)$ より $x=-1$ で極大、$x=1$ で極小となる。

水平線 $y=g(\alpha)$ とグラフの交点を $x$ の小さい順に $\beta_-,\alpha,\beta_+$ とおくと、因数分解から $$\displaystyle \beta_-=-\frac{\alpha}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{4-\alpha^2},\qquad \beta_+=-\frac{\alpha}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{4-\alpha^2}.$$ 問題で定める $\alpha$ は $0<\alpha<1$ で、$\beta_-<\alpha<\beta_+$ である。

傾き $s$ の直線 $y=sx+t$ を考える。$s>-3$ とし $\lambda=\sqrt{1+s/3}>0$ とおけば $$\displaystyle g(x)-sx=x^3-(3+s)x=\lambda^3g\!\left(\frac{x}{\lambda}\right).$$ したがって、グラフと直線で囲まれる2部分の面積比は、$g$ と水平線の場合と同じであり、3交点は $\lambda\beta_-,\lambda\alpha,\lambda\beta_+$ となる。横・縦の拡大率が正なので、上下の面積比は変わらない。

傾き9では $g(x)-9x=x^3-12x=8g(x/2)$ だから、第2交点の $x$ 座標は $2\alpha$ である。したがって、$y=g(x)$ 上の $x=2\alpha$ の点を通る傾き9の直線が面積比 $2:1$ を与える。

場合1では $s=1$ より $\lambda=2/\sqrt3$。第2交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac{2\sqrt3}{3}\alpha.$$

場合2では、直線が $\displaystyle \left(\frac12,g\left(\frac12\right)\right)$ を通る。直線とグラフの差 $g(x)-sx-t$ の根のうち $x=1/2$ は正であり、左端根 $\lambda\beta_-<0$ にはなれない。原文はこの固定点が中間根か右端根かを指定していない。中間根の場合は $\lambda\alpha=1/2$ なので $$\displaystyle s=3(\lambda^2-1)=\frac{3}{4}\alpha^{-2}-3.$$ これは空欄の単一式形式が示唆する枝である。一方、右端根の場合も $\lambda\beta_+=1/2$ とすれば同じ面積比条件を満たし、別の有効な傾き $$\displaystyle s=\frac{3}{4\beta_+^2}-3 =\frac{3}{\left(-\alpha+\sqrt{12-3\alpha^2}\right)^2}-3$$ が得られる。よって場合2の原文条件を満たす傾きはこの2つである。

場合3の関数を $f(x)=x^3-x^2-x+1$、$u=x-1/3$ とおくと、変曲点は $(1/3,16/27)$ であり $$\displaystyle f(x)-\frac{16}{27}=u^3-\frac43u=\frac{8}{27}g\!\left(\frac32u\right).$$ 横方向の倍率は $2/3$ だから、第2交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \frac23\alpha+\frac13.$$