1北海道大学 2015年 数学 第1問解答・解説

解答

$f(x)=(x-1)e^x$ とすると $f'(x)=xe^x$ だから、$C_1$ の点 $(t,(t-1)e^t)$ における接線は $$y=te^t(x-t)+(t-1)e^t=te^tx-(t^2-t+1)e^t.$$ 一方、$C_2$ の $x=s$ における接線は $$\displaystyle y=\frac{s}{e}x+a-\frac{s^2}{2e}.$$ 両接線が一致するには、傾きと切片がそれぞれ等しい。傾きから $s=et e^t$ を得る。切片を等しくすると $$\displaystyle a-\frac{s^2}{2e}=-(t^2-t+1)e^t,$$ したがって $$\displaystyle \boxed{a=\frac{e}{2}t^2e^{2t}-(t^2-t+1)e^t}.$$

これを $t$ で微分すると $$a'(t)=e^t t(t+1)(e^{t+1}-1).$$ $t<-1$ では $t(t+1)>0$ かつ $e^{t+1}-1<0$、$-1<t<0$ では $t(t+1)<0$ かつ $e^{t+1}-1>0$ なので、どちらの範囲でも $a'(t)<0$。また $t>0$ では $a'(t)>0$ である。$t=-1$ では導関数が $0$ になるが、その前後で減少は続く。よって $a$ は $t<0$ で減少し、$t>0$ で増加するから、極小値は $t=0$ で取り、 $$\boxed{a=-1\quad(t=0)}$$ である。