6愛媛大学 2020年 数学 第6問解答・解説

以下，$\log x$ は自然対数 $\ln x$ を表す。曲線 $C:\ y=x(\log x)^{2}\ (x>0)$ について考える。　 　 (1) $y=x(\log x)^{2}$ を積の微分法と合成関数の微分法により微分する。$\displaystyle \dfrac{d}{dx}(\log x)^{2}=2\log x\cdot\dfrac1x$ であるから$$\displaystyle y'=1\cdot(\log x)^{2}+x\cdot 2\log x\cdot\frac1x=(\log x)^{2}+2\log x.$$さらにもう一度微分して$$\displaystyle y''=2\log x\cdot\frac1x+2\cdot\frac1x=\frac{2(\log x+1)}{x}\quad(x>0).$$　 　 (2) $y''=0$ となるのは $\log x=-1$，すなわち $\displaystyle x=\dfrac1e$ のときで，かつこのときに限る。$\displaystyle x<\dfrac1e$ では $\log x<-1$ より $y''<0$，$\displaystyle x>\dfrac1e$ では $y''>0$ となり，$\displaystyle x=\dfrac1e$ の前後で $y''$ の符号が変わるから，$C$ はここで凹凸が入れ替わる。よって変曲点は $\displaystyle x=\dfrac1e$ にあり，$$\displaystyle y\left(\frac1e\right)=\frac1e\left(\log\frac1e\right)^{2}=\frac1e\cdot(-1)^{2}=\frac1e$$であるから$$\displaystyle P\left(\frac1e,\ \frac1e\right).$$直線 $OP$ は原点と $P$ を通り，$P$ の $x$ 座標と $y$ 座標が等しいので，その方程式は $y=x$ である。この直線と $C$ との交点の $x$ 座標は，$x>0$ のもとで$$\displaystyle x(\log x)^{2}=x\text{、すなわち } x\{(\log x)^{2}-1\}=0\text{、すなわち }(\log x)^{2}=1\text{、すなわち }\log x=\pm1\text{、すなわち } x=e,\ \frac1e$$を満たす。$\displaystyle x=\dfrac1e$ は $P$ であるから，$P$ と異なる交点は $x=e$ のときで，$$y(e)=e(\log e)^{2}=e\cdot1^{2}=e$$より$$Q(e,\ e).$$　 　 (3) (1) の結果から$$y'(e)=(\log e)^{2}+2\log e=1+2=3$$であるから，$C$ 上の点 $Q(e,e)$ における接線 $\ell$ の方程式は$$y-e=3(x-e)\text{、すなわち } y=3x-2e.$$　 　 (4)(i) 部分積分法により，$u=\log x,\ dv=x\,dx$ すなわち $\displaystyle du=\dfrac1x dx,\ v=\dfrac{x^{2}}{2}$ とおくと$$\displaystyle \int x\log x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\log x-\int\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac1x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\log x-\frac12\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\log x-\frac{x^{2}}{4}+C.$$（$C$ は積分定数。以下同様。）　 　 (4)(ii) 部分積分法により，$u=(\log x)^{2},\ dv=x\,dx$ すなわち $\displaystyle du=2\log x\cdot\dfrac1x dx,\ v=\dfrac{x^{2}}{2}$ とおくと$$\displaystyle \int x(\log x)^{2}\,dx=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\int\frac{x^{2}}{2}\cdot2\log x\cdot\frac1x\,dx=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\int x\log x\,dx.$$(4)(i) の結果を代入して$$\displaystyle \int x(\log x)^{2}\,dx=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\left(\frac{x^{2}}{2}\log x-\frac{x^{2}}{4}\right)+C=\frac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\frac{x^{2}}{2}\log x+\frac{x^{2}}{4}+C.$$　 　 (5) $x\geqq1$ の範囲で図形の形を調べる。(1) の結果より$$y'=(\log x)^{2}+2\log x=\log x(\log x+2).$$$x\geqq1$ では $\log x\geqq0$ なので $\log x+2>0$ であり，したがって $y'\geqq0$（等号は $x=1$ のときのみ）。よって $C$ は $x\geqq1$ で単調に増加し，$x=1$ のとき $y=1\cdot(\log1)^{2}=0$ を通る。また $\displaystyle x\geqq1>\dfrac1e$ では常に $\log x>-1$ より $\displaystyle y''=\dfrac{2(\log x+1)}{x}>0$ であるから，$C$ は $x\geqq1$ で（下に）凸である。凸関数のグラフはその接線より下にはならず，接線とは接点でのみ一致するから，$$x(\log x)^{2}\geqq3x-2e\quad(x\geqq1),$$等号は $x=e$ のときのみ成り立つ。すなわち区間 $x\geqq1$ 全体で曲線 $C$ は接線 $\ell$ 以上にある。　 次に $\ell$ と $x$ 軸との交点を求めると，$3x-2e=0$ より $\displaystyle x=\dfrac{2e}{3}$ で，$\displaystyle 1<\dfrac{2e}{3}<e$（実際 $\displaystyle \dfrac{2e}{3}=\dfrac23e\fallingdotseq1.81$）である。$x=1$ では $\ell(1)=3-2e<0$ であるから，区間 $\displaystyle 1\leqq x\leqq\dfrac{2e}{3}$ では $\ell$ は $x$ 軸より下にあり，区間 $\displaystyle \dfrac{2e}{3}\leqq x\leqq e$ で $\ell\geqq0$ となる。　 以上より，曲線 $C\ (x\geqq1)$，接線 $\ell$，$x$ 軸で囲まれた図形は，$x$ 軸に沿って $(1,0)$ から $\displaystyle \left(\dfrac{2e}{3},0\right)$ まで，続いて $\ell$ に沿って $\displaystyle \left(\dfrac{2e}{3},0\right)$ から $Q(e,e)$ まで，最後に $C$ に沿って $Q(e,e)$ から $(1,0)$ まで戻る閉じた図形であり，その面積は$$\displaystyle S=\int_{1}^{e}x(\log x)^{2}\,dx-\int_{2e/3}^{e}(3x-2e)\,dx$$で与えられる（$\displaystyle 1\leqq x\leqq\dfrac{2e}{3}$ では下側境界が $y=0$ であり，その区間の $\ell$ の値は積分に寄与しない）。　 (4)(ii) の結果より，$\displaystyle F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}-\dfrac{x^{2}}{2}\log x+\dfrac{x^{2}}{4}$ を用いて$$\displaystyle \int_{1}^{e}x(\log x)^{2}\,dx=F(e)-F(1)=\left(\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{2}+\frac{e^{2}}{4}\right)-\left(0-0+\frac14\right)=\frac{e^{2}}{4}-\frac14=\frac{e^{2}-1}{4}.$$また$$\displaystyle \int_{2e/3}^{e}(3x-2e)\,dx=\left[\frac32x^{2}-2ex\right]_{2e/3}^{e}=\left(\frac32e^{2}-2e^{2}\right)-\left(\frac32\cdot\frac{4e^{2}}{9}-2e\cdot\frac{2e}{3}\right)=\left(-\frac{e^{2}}{2}\right)-\left(-\frac{2e^{2}}{3}\right)=\frac{e^{2}}{6}.$$したがって$$\displaystyle S=\frac{e^{2}-1}{4}-\frac{e^{2}}{6}=\frac{3(e^{2}-1)-2e^{2}}{12}=\frac{e^{2}-3}{12}.$$（数値検算：$e^{2}\fallingdotseq7.389$ より $S\fallingdotseq0.366>0$ となり，図形の面積として妥当な正の値である。）