3愛媛大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$\vec a=(2,1,-1)$、$\vec b=(-1,2,2)$ とする。

(1) $$|\vec a|=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt6,\qquad |\vec b|=\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}=3,$$ $$\vec a\cdot\vec b=2(-1)+1\cdot2+(-1)\cdot2=-2.$$

(2) $$\displaystyle \cos\angle AOB=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}=-\frac{2}{3\sqrt6}.$$ したがって $$\displaystyle [OAB]=\frac12|\vec a||\vec b|\sin\angle AOB =\frac12(3\sqrt6)\sqrt{1-\frac{4}{54}} =\boxed{\frac{5\sqrt2}{2}}.$$

(3)(i) 点C 平面$OAB$の法線ベクトルを$(u,v,w)$とすると $$2u+v-w=0,\qquad -u+2v+2w=0.$$ これを解くと法線方向は$(4,-3,5)$で、その大きさは$5\sqrt2$。条件(a),(b)から $$\overrightarrow{OC}=(4,-3,5)\quad\hbox{または}\quad(-4,3,-5).$$ 条件(c)より$\overrightarrow{OC}\cdot(1,0,0)\ge0$なので、$\boxed{C=(4,-3,5)}$。

(3)(ii) 点D $AD:DB=t:(1-t)$なので$\overrightarrow{OD}=(1-t)\vec a+t\vec b$。従って $$\boxed{D=(2-3t,\ 1+t,\ -1+3t)}.$$

(3)(iii) 最小面積 $OD$は平面$OAB$内、$OC$は同平面に垂直なので$\angle COD=90^\circ$。よって $$\displaystyle [OCD]=\frac12|OC||OD|=\frac{5\sqrt2}{2}\sqrt{(2-3t)^2+(1+t)^2+(-1+3t)^2}.$$ 根号内は $$\displaystyle (2-3t)^2+(1+t)^2+(-1+3t)^2=6-16t+19t^2 =19\left(t-\frac8{19}\right)^2+\frac{50}{19}.$$ $0<t<1$の範囲に頂点$t=8/19$が入る。したがって面積最小は$\boxed{t=8/19}$（このとき面積は$25\sqrt{19}/19$）。

高校範囲・論証： 成分計算、ベクトルの内積・大きさ、平面法線を連立一次方程式で求める方法、垂直な二辺の面積、二次関数の平方完成のみを用いた。単元： 数学B「ベクトル」、数学I「二次関数」。方法： ベクトルの成分計算、条件を満たす法線方向の決定、距離平方の二次式化。定理・公式： 内積と角の関係、三角形の面積公式、内分点の公式、二次関数の平方完成。テーマ： 空間ベクトルと線分上の点を用いた面積最小。