III日本医科大学 2022年 数学 第III問解答・解説

$$\displaystyle \text{接点を }A=(x_0,y_0)\text{ とする。楕円の接線は }x_0x/a^2+y_0y/b^2=1\text{ であり、その傾きが }-m\text{ だから }(x_0/a^2)/(y_0/b^2)=m\text{、すなわち }y_0=\frac{b^2x_0}{ma^2}\text{。これを楕円の式に代入すると}\;x_0=\frac{ma^2}{\sqrt{m^2a^2+b^2}},\quad y_0=\frac{b^2}{\sqrt{m^2a^2+b^2}}\text{。接線は }y=-mx+k\text{ なので }k=y_0+mx_0=\sqrt{m^2a^2+b^2}\text{。原点からの距離は}\;h=\frac{k}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{m^2a^2+b^2}}{\sqrt{m^2+1}}.\quad OA\text{ の方向ベクトルは }(x_0,y_0)\text{、}OH\text{ の方向ベクトルは }(m,1)\text{ である。したがって}\;\sin\theta=\frac{|x_0-my_0|}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}\sqrt{m^2+1}}=\frac{m(a^2-b^2)}{\sqrt{m^2a^4+b^4}\sqrt{m^2+1}}.\quad t=m^2\text{ とおき、}A=a^4,B=b^4\text{ と書けば、}m\text{ に依存する部分の2乗は}\;\frac{t}{(At+B)(t+1)}\text{。その導関数の符号は }B-At^2\text{ だから、最大は }t=\sqrt{B/A}=b^2/a^2\text{ で取る。この値を代入して整理すると}\;M(a,b)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}.\quad u=a-b>0\text{、}r=u/b\text{ とおくと}\;M=\frac{r^2+2r}{r^2+2r+2}=1-\frac2{r^2+2r+2}\text{ であり、}r>0\text{ について増加する。条件円内で }u=rb\text{ を代入すると}\;(r^2+1)b^2-2b+\frac14\leq0\text{。左辺の最小値は頂点 }b=1/(r^2+1)\text{ で }r^2/(r^2+1)-3/4\text{ となるので、可能であるためには }r^2\leq3\text{。等号は }r=\sqrt3,b=1/4\text{ で実現し、}u=\sqrt3/4,a=(1+\sqrt3)/4\text{。従って最大値は}\;\frac{3+2\sqrt3}{5+2\sqrt3}=\frac{3+4\sqrt3}{13}.$$