7愛媛大学 2020年 数学 第7問解答・解説

（理学部、医学部、工学部工学科理型入試（社会デザインコースを除く））以下の問いに答えよ。ただし、0でない複素数 $z$ に対して、$z^{0}=1$ と定める。

(1) $\alpha$ を $\alpha\neq0$ かつ $\alpha\neq1$ を満たす複素数とする。このとき、次の式が成り立つことを証明せよ。$$\displaystyle 1+\alpha+\alpha^{2}+\cdots+\alpha^{n-1}=\frac{1-\alpha^{n}}{1-\alpha}\quad(n=1,2,3,\ldots)$$

(2) 2つの数列 $\{x_{n}\},\{y_{n}\}$ が $x_{1}=1,y_{1}=0$ および $$\displaystyle \begin{cases}x_{n+1}=\frac14x_{n}-\frac{\sqrt3}{4}y_{n},\\y_{n+1}=\frac{\sqrt3}{4}x_{n}+\frac14y_{n}\end{cases}\quad(n=1,2,3,\ldots)$$ によって定められている。また、$i$ を虚数単位とし、$z_{n}=x_{n}+iy_{n}$ とおく。

(i) $z_{n+1}=\beta z_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ を満たす複素数 $\beta$ を求めよ。

(ii) 数列 $\{x_{n}\},\{y_{n}\}$ の一般項を求めよ。

(iii) $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}z_{k}$ の実部を求めよ。

(iv) $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{\cos\frac{n\pi}{3}}{2^{n}}$$ を求めよ。