4愛媛大学 2020年 数学 第4問解答・解説

移動の構造の整理 $m=1,2,3,\dots$ に対して,(★)より点Pは格子点 $(2m-1,1)$ を出発し, $$\text{右へ1回}\to\text{上へ}(2m-1)\text{回}\to\text{左へ}(2m-1)\text{回}\to\text{上へ1回}\to\text{右へ}2m\text{回}\to\text{下へ}2m\text{回}$$ の順に移動し,格子点 $(2(m+1)-1,1)=(2m+1,1)$ に到達する。この一連の移動(これを「第 $m$ 区間」とよぶ)の移動回数の合計は $$1+(2m-1)+(2m-1)+1+2m+2m=8m$$ である。番号は1回の移動ごとに1つずつ増えるから,格子点 $(2m-1,1)$ に付く番号を $S_{m}$ とおくと,格子点 $(2m+1,1)=(2(m+1)-1,1)$ に付く番号は $S_{m+1}$ であり, $$S_{m+1}=S_{m}+8m\qquad(m=1,2,3,\dots),\qquad S_{1}=1$$ が成り立つ(実際,$(1,1)$ が番号1番であることと(★)の記述より $S_1=1$)。ゆえに $m\ge 2$ のとき $$\displaystyle S_{m}=S_{1}+\sum\limits _{k=1}^{m-1}8k=1+8\cdot\frac{(m-1)m}{2}=1+4m(m-1)=4m^{2}-4m+1=(2m-1)^{2}$$ であり,これは $m=1$ でも $S_1=1=(2\cdot1-1)^2$ を満たすから,すべての自然数 $m$ について $$S_{m}=(2m-1)^{2}\tag{$\ast$}$$ が成り立つ。

次に,第 $m$ 区間の各段階での番号と座標の対応を,移動回数をパラメータとして書き下す(番号は $S_m$ から1ずつ増える)。

・ 出発: 番号 $S_{m}$, 座標 $(2m-1,1)$

・ 右へ1回移動後: 番号 $S_{m}+1$, 座標 $(2m,1)$

・ 上へ $t$ 回移動後($t=0,1,\dots,2m-1$): 番号 $S_{m}+1+t$, 座標 $(2m,\,1+t)$

・ 左へ $s$ 回移動後($s=0,1,\dots,2m-1$): 番号 $S_{m}+2m+s$, 座標 $(2m-s,\,2m)$

・ 上へ1回移動後: 番号 $S_{m}+4m$, 座標 $(1,\,2m+1)$

・ 右へ $r$ 回移動後($r=0,1,\dots,2m$): 番号 $S_{m}+4m+r$, 座標 $(1+r,\,2m+1)$

・ 下へ $d$ 回移動後($d=0,1,\dots,2m$): 番号 $S_{m}+6m+d$, 座標 $(2m+1,\,2m+1-d)$

(隣り合う段では移動回数の重複する端(たとえば「右へ1回移動後」と「上へ $t=0$」)が同じ点を指しており,番号も一致することが直接確かめられる。以下,この対応表を用いる。)

(1)(i) 格子点 $(5,3)$ の番号 $(5,3)$ は $x$ 座標が $5$ で一定の「下へ $d$ 回移動後」の段($x=2m+1$)にあるとわかる。$2m+1=5$ より $m=2$。このとき座標は $(5,\,5-d)$ であり,$5-d=3$ より $d=2$($0\le d\le 4$ を満たすので適する)。$(\ast)$ より $S_{2}=(2\cdot2-1)^{2}=9$ であるから,求める番号は $$S_{2}+6\cdot2+2=9+12+2=23$$ よって ア $=23$。

(1)(ii) 格子点 $(2n,1)$ と $(1,2n+1)$ の番号 $n$ を自然数とする。

格子点 $(2n,1)$ は,対応表の「右へ1回移動後」の段($x=2m,\,y=1$)で $2m=2n$,すなわち $m=n$ としたものである。番号は $S_{n}+1$ であり,$(\ast)$ より $$S_{n}+1=(2n-1)^{2}+1=4n^{2}-4n+2$$ よって イ $=4n^{2}-4n+2$。

格子点 $(1,2n+1)$ は,対応表の「上へ1回移動後」の段($x=1,\,y=2m+1$)で $2m+1=2n+1$,すなわち $m=n$ としたものである。番号は $S_{n}+4n$ であり, $$S_{n}+4n=(2n-1)^{2}+4n=4n^{2}-4n+1+4n=4n^{2}+1$$ よって ウ $=4n^{2}+1$。

(2)(i) $a_{n}$ の一般項 まず $n=1$ のとき,格子点 $(1,1)$ は番号1であるから $a_1=1=1^2-1+1$。以下 $n\ge2$ とする。格子点 $(n,n)$ が対応表のどの段にあるかは $n$ の偶奇で分かれる。

(ア) $n$ が偶数のとき,$n=2m$ とおく。「上へ $t$ 回移動後」の座標 $(2m,1+t)$ で $1+t=n=2m$ となる $t=2m-1$(これは $t$ の最大値で許される)をとると座標は $(2m,2m)=(n,n)$。番号は $$S_{m}+1+(2m-1)=S_{m}+2m=(2m-1)^{2}+2m$$ ここに $\displaystyle m=\dfrac{n}{2}$ を代入すると $$(n-1)^{2}+n=n^{2}-2n+1+n=n^{2}-n+1$$

(イ) $n\ge3$ が奇数のとき,$n=2m+1$ とおくと $m\ge1$ である。「右へ $r$ 回移動後」の座標 $(1+r,2m+1)$ で $1+r=n=2m+1$ となる $r=2m$(最大値で許される)をとると座標は $(2m+1,2m+1)=(n,n)$。番号は $$S_{m}+4m+2m=S_{m}+6m=(2m-1)^{2}+6m$$ ここに $\displaystyle m=\dfrac{n-1}{2}$ を代入すると $$(n-2)^{2}+3(n-1)=n^{2}-4n+4+3n-3=n^{2}-n+1$$

いずれの場合も同じ式になるので,$n\ge2$ では $$a_{n}=n^{2}-n+1$$ 先に確認した $n=1$ の場合も含め,すべての自然数 $n$ について

(2)(ii) $\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}a_{k}$ $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_{k}=\sum\limits _{k=1}^{n}(k^{2}-k+1)=\sum\limits _{k=1}^{n}k^{2}-\sum\limits _{k=1}^{n}k+\sum\limits _{k=1}^{n}1$$ $$\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}+n$$ 通分して整理すると $$\displaystyle =\frac{n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)+6n}{6}=\frac{n\{(n+1)(2n+1)-3(n+1)+6\}}{6}$$ $$(n+1)(2n+1)-3(n+1)+6=(2n^{2}+3n+1)-(3n+3)+6=2n^{2}+4$$ より $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(2n^{2}+4)}{6}=\frac{n(n^{2}+2)}{3}$$

(3) 番号2020番の格子点 $(\ast)$ より $S_{m}=(2m-1)^{2}$ は $m$ について単調増加であるから,$S_{m}\le 2020<S_{m+1}$ となる $m$ を探す。 $$43^{2}=1849,\qquad 45^{2}=2025$$ より $S_{22}=1849\le 2020<2025=S_{23}$ であるから $m=22$。

第22区間内での番号2020の位置を,対応表の各段の番号の範囲で確認する(区間の全長は $8m=176$ で $S_{23}-S_{22}=2025-1849=176$ と一致する)。

・ 上へ移動の段:番号 $S_{22}+1=1850$ から $S_{22}+2m=1893$

・ 左へ移動の段:番号 $1894$ から $S_{22}+4m-1=1849+87=1936$

・ 上へ1回の段:番号 $1937$

・ 右へ移動の段:番号 $S_{22}+4m=1937$ から $S_{22}+6m=1849+132=1981$

・ 下へ移動の段:番号 $S_{22}+6m=1981$ から $S_{22}+8m=2025$

$1981\le 2020\le 2025$ であるから,番号2020は「下へ $d$ 回移動後」の段($x=2m+1=45$ で一定)にある。 $$S_{22}+6\cdot22+d=2020\ \quad\text{より}\quad\ 1849+132+d=2020\ \quad\text{より}\quad\ d=39$$ ($0\le d\le 2m=44$ を満たすので適する。)座標は $(2m+1,\,2m+1-d)=(45,\,45-39)=(45,6)$。

よって番号2020番が付いた格子点の座標は $(45,6)$ である。