5筑波大学 2020年 数学 第5問解答・解説

数学確認 (1) 漸化式から $$\displaystyle a_2=\frac{c+1}{c+2},\qquad a_3=\frac{c+2}{c+3}.$$

(2) $a_1=c/(c+1)$。$a_n=(n+c-1)/(n+c)$ と仮定すると $$\displaystyle a_{n+1}=\frac1{2-a_n}=\frac{n+c}{n+c+1}.$$ 従って帰納法で $a_n=(n+c-1)/(n+c)$。$c>0,n\ge1$ より $0<a_n<1$ なので漸化式および比に現れる分母は0にならない。

(3) $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}-1 =\frac1{(n+c-1)(n+c+1)} =\frac12\left(\frac1{n+c-1}-\frac1{n+c+1}\right).$$ 従って $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^N\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right) =\frac12\left(\frac1c+\frac1{c+1}-\frac1{c+N}-\frac1{c+N+1}\right).$$ $N\to\infty$ で後ろの二項が0となり、級数和は $$\displaystyle \frac12\left(\frac1c+\frac1{c+1}\right)=\frac{2c+1}{2c(c+1)}.$$ 指定旧答 F00/B00 の結論・一般項・部分分数分解は一致する。