2筑波大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$B=(t,t)$ とおくと $t\leq 0$ であり、 $$\overrightarrow{PA}=(1+\cos\theta,\sin\theta),\qquad \overrightarrow{PB}=(1+t,t).$$ 条件 $\angle APB=\pi/2$ より内積が $0$ だから $$(1+\cos\theta)(1+t)+t\sin\theta=0.$$ これを $t$ について解くと $$\displaystyle t=-\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta+\sin\theta}.$$ 分母は正で、分子も正なので $t<0$。従ってこの点は常に $C_2$ 上にあり、 $$\displaystyle \boxed{x_B=-\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta+\sin\theta}}.$$

線分 $AB$ の中点の $x$ 座標は $$\displaystyle x_M=\frac{\cos\theta+t}{2}.$$ 分母 $1+\cos\theta+\sin\theta$ は正なので、$x_M\geq0$ は $$\displaystyle \cos\theta-\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta+\sin\theta}\geq0 \quad\text{すなわち}\quad \cos^2\theta+\sin\theta\cos\theta\geq1$$ と同値である。$0\leq\theta<\pi/2$ では $u=\tan\theta\geq0$ とおけて、上の不等式は $$\displaystyle \frac{1+u}{1+u^2}\geq1 \quad\text{すなわち}\quad u(1-u)\geq0 \quad\text{すなわち}\quad 0\leq u\leq1.$$ 従って $0\leq\theta\leq\pi/4$。残る端点 $\theta=\pi/2$ では $x_M=-1/4<0$ なので含まれない。よって $$\displaystyle \boxed{0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}}.$$