旭川医科大学 2020年数学第2問解答・解説

1問題

旭川医科大学2020年度第2問

$a, b, r$ は正の実数で $0 < b < a < r < \sqrt{a^2 + b^2}$ とし, 楕円 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を $C$ とおく. 点 $P(p, q)$ は円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点で $p > a$ , $q \geq 0$ を満たす. このとき, 次の各問いに答えよ.

問 1 点 P から楕円 C に引いた 2 本の接線の傾きをそれぞれ $m_{1}$ , $m_{2}$ ( $m_{1} < m_{2}$ ) とするとき, $m_{1} + m_{2}$ と $m_{1}m_{2}$ を p, q, a, b を用いて表せ.

問 2 問 1 で引いた傾き $m_{1}, m_{2}$ の接線の接点をそれぞれ $Q_{1}, Q_{2}$ とする.3 点 P, $Q_{1}, Q_{2}$ を頂点とする三角形において, $\angle Q_{1}PQ_{2}$ の大きさを $\theta$ ( $0 < \theta < \pi$ ) とする.

(1) $\tan\theta$ を p, q, r, a, b を用いて表し, $\angle Q_{1}PQ_{2}$ が鈍角であることを示せ.

(2) r が $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ より小さい値をとりながら $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ に限りなく近づくとき，点 P(r,0) における θ の極限値を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1
$\displaystyle m_1+m_2=\frac{2pq}{p^2-a^2}$ , $\displaystyle m_1m_2=\frac{q^2-b^2}{p^2-a^2}$
問2(1)
$\displaystyle \tan\theta=\frac{2\sqrt{b^2(p^2-a^2)+a^2q^2}}{r^2-a^2-b^2}$ , $\displaystyle \frac\pi2<\theta<\pi$
問2(2)
π/2

3解答

解答を見る途中式つきの解答

接線を $y=mx+c$ とおく。楕円に代入して二次方程式の判別式を0とすると接線条件は $c^2=a^2m^2+b^2.$ $P(p,q)$ を通るので $c=q-mp$ 。よって接線の傾きは $(p^2-a^2)m^2-2pqm+(q^2-b^2)=0$ の2根であり、 $\displaystyle m_1+m_2=\frac{2pq}{p^2-a^2},\qquad m_1m_2=\frac{q^2-b^2}{p^2-a^2}.$

接点 $Q_i=(x_i,y_i)$ では $x_i\le a<p$ 、従って $\overrightarrow{PQ_i}=(x_i-p)(1,m_i)$ で $x_i-p<0$ 。その内積の符号は $1+m_1m_2$ の符号で決まり、 $\displaystyle 1+m_1m_2=\frac{p^2+q^2-a^2-b^2}{p^2-a^2} =\frac{r^2-a^2-b^2}{p^2-a^2}<0.$ よって $\theta=\angle Q_1PQ_2$ は鈍角。

傾き方程式の判別式から $\displaystyle m_2-m_1=\frac{2\sqrt{b^2(p^2-a^2)+a^2q^2}}{p^2-a^2}.$ 2本の方向ベクトルの外積と内積の比は $\tan\theta$ だから $\displaystyle \tan\theta= \frac{2\sqrt{b^2(p^2-a^2)+a^2q^2}}{r^2-a^2-b^2}.$ $P=(r,0)$ とすれば $\displaystyle \tan\theta=\frac{2b\sqrt{r^2-a^2}}{r^2-a^2-b^2}.$ $r\to\sqrt{a^2+b^2}-$ で分子は $2b^2>0$ 、分母は負側から0に近づくので $\tan\theta\to-\infty$ 。常に $\pi/2<\theta<\pi$ であるため極限は $\pi/2$ 。

この問題で使う考え方

接線条件の判別式
解と係数の関係
内積・外積による角の判定

1問題

2答え

3解答

似た問題を、ほかの大学で