1旭川医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

接点の $x$ 座標を $a_n$ とする。$y=\log x$ の導関数は $1/x$ だから、$x=a_n$ における接線は$$\displaystyle y=\log a_n+\frac{x-a_n}{a_n}=\frac{x}{a_n}+\log a_n-1.$$これが $(-n,0)$ を通るので $n=a_n(\log a_n-1)$ を得る。$n\geq0$ より $a_n\geq e$ であり、$F(x)=x(\log x-1)$ は $x\geq e$ で $F'(x)=\log x>0$ だから、$n=0$ のとき $a_0=e$。

曲線は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$a_n\geq e>1$ なので、求める面積は$$\displaystyle \int_1^{a_n}\log x\,dx=[x\log x-x]_1^{a_n}=a_n\log a_n-a_n+1=n+1.$$

$F(a_n)=n$ と $F'(x)=\log x$ より、$$\displaystyle 1=F(a_{n+1})-F(a_n)=\int_{a_n}^{a_{n+1}}\log x\,dx\geq(a_{n+1}-a_n)\log a_n.$$また $a_{n+1}>a_n$ であり、問題文で許された $a_n\to\infty$ から $\log a_n\to\infty$ だから、$$\displaystyle 0<a_{n+1}-a_n\leq\frac{1}{\log a_n}\longrightarrow0.$$したがって (1) は $0$。

$n\geq1$ では $n=a_n(\log a_n-1)$ より$$\displaystyle \frac{a_n\log a_n}{n}=\frac{\log a_n}{\log a_n-1}\longrightarrow1,$$したがって (2) は $1$。