5新潟大学 2012年 数学 第5問解答・解説

(1) $x\ge0$ とし $$\displaystyle F(x)=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2},\qquad G(x)=x-\log(1+x)$$ とおく。対数関数の微分より $$\displaystyle F'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\ge0,\qquad G'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\ge0.$$ また $F(0)=G(0)=0$ なので $F(x)\ge0$, $G(x)\ge0$。従って $$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}\le\log(1+x)\le x.$$

(2) $0\le x\le1/n$ で (1) を用いて積分すると $$\displaystyle \frac{1}{2n^2}-\frac{1}{6n^3}=\int_0^{1/n}\left(x-\frac{x^2}{2}\right)dx \le\int_0^{1/n}\log(1+x)dx\le\int_0^{1/n}x\,dx=\frac{1}{2n^2}.$$ 両辺に $n^2$ を掛けて $$\displaystyle \frac12-\frac{1}{6n}\le a_n\le\frac12.$$ はさみうちの原理より $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac12$。

(3) $1\le k\le n$ に対して $k/n^2\ge0$ なので (1) より $$\displaystyle \frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}\le\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\le\frac{k}{n^2}.$$ これを $k=1,\dots,n$ について加えると $$\displaystyle \frac{1}{n^2}\sum\limits _{k=1}^n k-\frac{1}{2n^4}\sum\limits _{k=1}^n k^2\le b_n\le\frac{1}{n^2}\sum\limits _{k=1}^n k.$$ 公式 $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n k=n(n+1)/2$, $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n k^2=n(n+1)(2n+1)/6$ を代入して $$\displaystyle \frac{n+1}{2n}-\frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\le b_n\le\frac{n+1}{2n}.$$ 両端はともに $1/2$ に収束するから、はさみうちの原理より $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}b_n=\frac12$。

微分で対数を挟む不等式を証明する。これを積分した評価と、$k/n^2$を代入して足した評価に使い、はさみうちで二つの極限を求める。