2新潟大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) $0\le j\le k-1\le n-1$ だから $0<n-j\le n$ であり、 $$n(n-1)\cdots(n-k+1)\le n^k.$$ また $k\ge1$ なら $$k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\ge 1\cdot 2^{k-1}=2^{k-1}$$ である。以上を掛け合わせると $$2^{k-1}n(n-1)\cdots(n-k+1)\le k!n^k$$ を得る。

(2) 二項定理と (1) より、$1\le k\le n$ に対して $$\displaystyle \frac{\binom nk}{n^k} =\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!n^k} \le\frac1{2^{k-1}}.$$ 従って $$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n =\sum\limits _{k=0}^n\frac{\binom nk}{n^k} \le1+\sum\limits _{k=1}^n\frac1{2^{k-1}} =1+2(1-2^{-n})<3.$$

(3) (2) に $n=9$ を代入すると $$\displaystyle \left(\frac{10}{9}\right)^9<3, \qquad 10^9<3\cdot9^9=3^{19}.$$ 正の $19$ 乗根をとれば $10^{9/19}<3$ だから、常用対数の単調性より $$\displaystyle \frac9{19}<\log_{10}3.$$ また $3^2=9<10$ より $3<10^{1/2}$ であり、同じく常用対数の単調性から $\log_{10}3<1/2$。両方を合わせて $$\displaystyle \frac9{19}<\log_{10}3<\frac12$$ となる。