8東邦大学 2013年 数学 第8問解答・解説

対数の条件から $z>0$、$(x+y)/2>0$ である。第1式を底2の対数で表し、両辺を2倍すると $$\displaystyle \log_2 z=-1+\log_2\frac{x+y}{2}=\log_2\frac{x+y}{4},$$ よって $x+y=4z$ である。また、底が1でない同じ指数関数の指数を比較すると $$3(xy-1)=z+2xy+2,$$ したがって $xy=z+5$ である。

$x,y$ は二次方程式 $$t^2-4zt+(z+5)=0$$ の2解である。実数 $x,y$ が存在するためには判別式が0以上でなければならず、 $$16z^2-4(z+5)=4(4z-5)(z+1)\geq0.$$ $z>0$ より $z+1>0$ なので、$z\geq5/4$ が必要である。

逆に $z\geq5/4$ なら判別式は0以上であり、 $$x=2z+\sqrt{4z^2-z-5},\qquad y=2z-\sqrt{4z^2-z-5}$$ とおくと、$x+y=4z$、$xy=z+5$ となる。ここで $z>0$ だから第1式の対数の真数は正であり、上の関係は元の2式を満たす。よって取りうる値の範囲は $\boxed{z\geq5/4}$ である。