14東邦大学 2013年 数学 第14問解答・解説

$\displaystyle C=\int_{-2}^{2}|f(t)|\,dt$、$a=C/4$ とおくと、与式から $$f(x)=x^2-4-a(x-2)=(x-2)(x+2-a).$$ したがって $a\geq0$ は $$\displaystyle a=\frac14\int_{-2}^{2}(2-t)|t+2-a|\,dt =\frac14\int_0^4(4-u)|u-a|\,du$$ を満たす。

まず $a\geq4$ なら、積分内で $|u-a|=a-u$ だから $$\displaystyle \int_0^4(4-u)|u-a|\,du=8a-\frac{32}{3}.$$ よって $a=2a-8/3$、すなわち $a=8/3$ となるが、これは $a\geq4$ に反する。

次に $0\leq a\leq4$ なら、$u=a$ で積分を分けて $$\displaystyle \int_0^4(4-u)|u-a|\,du =\int_0^a(4-u)(a-u)\,du+\int_a^4(4-u)(u-a)\,du =-\frac{a^3}{3}+4a^2-8a+\frac{32}{3}.$$ これを $\displaystyle a=\frac14\int_0^4(4-u)|u-a|du$ に代入すると $$a^3-12a^2+36a-32=(a-2)^2(a-8)=0.$$ この範囲にある解は $a=2$ だけである。よって $f(x)=x(x-2)$。実際、$\displaystyle \int_{-2}^2|t(t-2)|dt=20/3+4/3=8$ となり、$a=2$ と整合する。したがって $$\displaystyle f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)\left(-\frac52\right)=\frac54.$$ ゆえに、求める値は $\boxed{5/4}$ である。