11東邦大学 2013年 数学 第11問解答・解説

条件から $|x|\leq\sqrt{3/2}<2$ であり、 $$\displaystyle y\leq\sqrt{\frac32-x^2},\qquad (x-2)^2=(2-x)^2>0.$$ また、 $$(2-x)^4-3+2x^2=(x-1)^2(x^2-6x+13)=(x-1)^2\bigl((x-3)^2+4\bigr)\geq0$$ だから、$\displaystyle \frac32-x^2\leq\frac{(2-x)^4}{2}$ である。両辺は非負なので、 $$\displaystyle \frac{y}{(x-2)^2}\leq\frac{\sqrt{\frac32-x^2}}{(2-x)^2}\leq\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$ この上限は $x=1,\ y=1/\sqrt2$ のとき実現する。この点は $x^2+y^2=3/2$ を満たし、与式の値は $\sqrt2/2$ である。よって最大値は $\boxed{\sqrt2/2}$ であり、$\boxed{\text{ハ}}=2,\ \boxed{\text{ヒ}}=2$ である。