1東邦大学 2013年 数学 第1問解答・解説

$x^9-1$ を $x+1$ で割った商を $P(x)$ とする。$x^9+1$ は因数分解できるので、 $$x^9-1=(x+1)(x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)-2$$ となる。したがって、商は $$P(x)=x^8-x^7+x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$$ である。$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは剰余の定理より $P(2)$ であり、 $$\displaystyle P(2)=2^8-2^7+2^6-2^5+2^4-2^3+2^2-2+1 =\frac{1-(-2)^9}{1-(-2)}=171.$$ よって、求める余りは $171$ である。