1徳島大学 2013年 数学 第1問解答・解説

(1)　 $P(x)=(x-2)Q(x)$ である。$P(x)$ を $x-1$ で割った余りが $-3$ なので、剰余の定理より $P(1)=-3$。従って $$-3=P(1)=(1-2)Q(1)=-Q(1), \qquad Q(1)=3.$$ よって $Q(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りは $$\boxed{3}.$$

(2)　 $P$ は首係数 $1$ の3次式で $P=(x-2)Q$ だから、$Q(x)$ は首係数 $1$ の2次式である。そこで $$Q(x)=x^2+bx+c$$ とおく。(1)より $Q(1)=3$、また $Q(x)$ を $x+3$ で割った余りが $7$ だから $Q(-3)=7$。従って $$1+b+c=3,\qquad 9-3b+c=7.$$ すなわち $b+c=2,\ -3b+c=-2$ であり、これを解いて $b=1,\ c=1$。よって $$\boxed{Q(x)=x^2+x+1}.$$

(3)　 $$P(x)=(x-2)(x^2+x+1)=x^3-x^2-x-2, \qquad (x-1)(x+3)=x^2+2x-3.$$ 多項式の筆算をすると $$\begin{array}{r} x^3-x^2-x-2\\[-2mm] -\ (x^3+2x^2-3x)\\ \hline -3x^2+2x-2\\ -\ (-3x^2-6x+9)\\ \hline 8x-11 \end{array}$$ となるので、商は $x-3$、余りは $8x-11$ である。実際 $$(x-3)(x^2+2x-3)+(8x-11)=x^3-x^2-x-2=P(x)$$ で、余りの次数は除数より小さい。従って $$\boxed{\text{商 }x-3,\qquad\text{余り }8x-11}.$$