2徳島大学 2013年 数学 第2問解答・解説

各文字を6個並べた列について、文字数を $n_N,n_E,n_S,n_W,n_X$ とすると、最終位置は $$(x,y)=(n_E-n_W,\ n_N-n_S),\qquad x+y=n_N+n_E-n_S-n_W.$$ したがって $N,E$ は $x+y$ を1増やし、$S,W$ は1減らし、$X$ は変えない。

(1) 6文字の後に $x+y=6$ となるには、各文字が毎回 $x+y$ を1増やさなければならない。各位置は $N,E$ の2通りだから、 $$2^6=64.$$

(2) まず $x+y=4$ の列を数える。$N,E$ の個数の和を $p$、$S,W$ の個数の和を $m$、$X$ の個数を $z$ とすると、 $$p-m=4,\qquad p+m+z=6,$$ ゆえに $2m+z=2$。可能な組は $(p,m,z)=(4,0,2),(5,1,0)$ である。

前者は $X$ の位置を選び、残りに $N,E$ を並べるので $$\displaystyle \binom{6}{2} 2^4=240.$$ 後者は負方向の文字の位置を6通り、そこに置く $S,W$ を2通り、残り5位置の $N,E$ を $2^5$ 通り選ぶので $$6\cdot2\cdot2^5=384.$$ よって $x+y=4$ は $240+384=624$ 通り。$N\leftrightarrow S, E\leftrightarrow W$ と入れ替えると $x+y$ の符号が反転するため、$x+y=-4$ も624通りである。両者は異なる条件なので、 $$624+624=1248.$$

(3) 原点に戻る条件は $x=0$ かつ $y=0$、すなわち $n_N=n_S=r$、$n_E=n_W=t$ である。$r,t\ge0, \ r+t\le3$ とすると、残る $6-2r-2t$ 個は $X$。固定した $r,t$ に対する並べ方は $$\displaystyle \frac{6!}{r!^2t!^2(6-2r-2t)!}.$$ これを $r+t$ ごとに合計すると、 $$\begin{array}{c|l} r+t&\text{小計}\\\hline 0&1\\ 1&30+30=60\\ 2&90+360+90=540\\ 3&20+180+180+20=400 \end{array}$$ したがって求める総数は $1+60+540+400=1001$ 通り。

答　(1) 64通り、(2) 1248通り、(3) 1001通り。