1岐阜大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 最短路は右4回、上4回。斜めの辺は$x+y$を変えず長さを増すため使わない。従って $\displaystyle \boxed{\binom84=\allowbreak{}70}$ 通り。 (2) $B$は$(2,\allowbreak{}2)$--$(2,\allowbreak{}3)$の辺上。通る最短路は$\displaystyle \binom42\binom31=\allowbreak{}18$通りなので、$\boxed{70-18=\allowbreak{}52}$通り。 (3) 長さ条件から斜め移動は1本だけ。$O$から$C=\allowbreak{}(-1,\allowbreak{}2)$へは左上1回・上1回で2通り。残り$C$から$A$へは右5回・上2回で$\displaystyle \binom72=\allowbreak{}21$通り。従って$\boxed{42}$通り。 (4) 単位辺の本数を$u$、斜辺を$v$とすると$u+v\sqrt2=\allowbreak{}8+\sqrt2$より$u=\allowbreak{}8,\allowbreak{}v=\allowbreak{}1$。右下斜辺なら他は右3回・上5回、左上なら右5回・上3回である。図の外側の道も含め各辺列が実現する。従って$\boxed{2\cdot9!/(3!5!)=\allowbreak{}1008}$通り。 (5) 右下斜辺の場合、斜辺より前の上移動が1～4回であることが必要十分。全504通りから、その回数が0と5の場合を除く。0の場合、斜辺前の右移動$e=\allowbreak{}0,\allowbreak{}1,\allowbreak{}2,\allowbreak{}3$ごとに残りの並べ方は$\displaystyle \binom{8-e}{3-e}$通りだから合計$56+21+6+1=\allowbreak{}84$通り。5の場合も移動列を逆順に対応させ84通り。よって$504-84-84=\allowbreak{}336$通り。左上の場合も対称に同数で、$\boxed{672}$通り。