5岐阜大学 2011年 数学 第5問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }A\binom21=\binom52\text{ より }2a+b=5,\quad2c+d=2.\text{ よって }b=5-2a,\ d=2-2c. \det A=ad-bc=2a-5c.\text{ したがって }\boxed{A\text{ が逆行列をもつための必要十分条件は }2a-5c\ne0}. \text{(2) }A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix}.\text{ 指定された行列から }b(a+d)=0,\ c(a+d)=\frac52. \text{後者より }a+d\ne0\text{ なので }b=0.\text{ 写像条件から }a=\frac52.\text{ また }bc+d^2=0\text{ より }d=0,\text{ ゆえに }c=1. \boxed{A=\begin{pmatrix}\frac52&0\\1&0\end{pmatrix}}.\text{ 実際 }A^2=\frac52 A. \text{(3) }k\ge1\text{ について }A^k=\left(\frac52\right)^{k-1}A.\text{ よって }\left(-\frac25\right)^kA^k=-\frac25(-1)^{k-1}A. \sum\limits _{k=1}^{n}\left(-\frac25\right)^kA^k=-\frac25 A\sum\limits _{j=0}^{n-1}(-1)^j=\begin{cases}0&(n\text{ 偶数}),\\-\frac25A=\begin{pmatrix}-1&0\\-\frac25&0\end{pmatrix}&(n\text{ 奇数}).\end{cases} A(2,1)^T=(5,2)^Tより2a+b=5、2c+d=2、したがってb=5−2a、d=2−2cである。det A=ad−bc=2a−5cなので、逆行列をもつ条件は2a−5c≠0。(2)の行列積では上右成分b(a+d)=0、左下成分c(a+d)=5/2。後者からa+d≠0となるためb=0であり、写像条件からa=5/2。下右成分cb+d²=0よりd=0、したがってc=1。得られたAについてA²=(5/2)Aを確認できる。よってk≥1でA^k=(5/2)^(k−1)Aであり、各項は(−2/5)^kA^k=(−2/5)(−1)^(k−1)A。交互和はn奇数で1、n偶数で0だから求める和は奇数時−(2/5)A、偶数時零行列。$$