2岐阜大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) 第2不等式から $y\le x/4+2$。$x\le2/3$ では下側境界が $y=2-3x$ であり、これと上側境界が両立する条件は $2-3x\le x/4+2$、すなわち $x\ge0$。$x\ge2/3$ では下側境界が $y=3x-2$ で、両立条件は $3x-2\le x/4+2$、すなわち $x\le16/11$。従って $D$ は $y=2-3x$、$y=3x-2$、$y=x/4+2$ に囲まれる頂点 $(0,2),(2/3,0),(16/11,26/11)$ の閉三角形。

(2) $0\le x\le2/3$ では $y\ge2-3x\ge0$ なので、 $x^2+2x+y^2\ge x^2+2x+(2-3x)^2=10(x-1/2)^2+3/2\ge3/2$。 $2/3\le x\le16/11$ では $x\ge0$ と $y^2\ge0$ から $x^2+2x+y^2\ge x^2+2x\ge16/9>3/2$。 点 $(1/2,1/2)$ は領域に属し、前半の平方完成で等号を与える。従って最小値は $3/2$、達成点は $(1/2,1/2)$。

絶対値のグラフと上側直線の交点から領域を三角形として表す。目的式は各固定 $x$ で最小の許容 $y$ において最小になる。左右の区間に分けて平方完成し、等号点が領域内であることを確かめる。