4北海道大学 2012年 数学 第4問解答・解説

(1) $$f(c)-g(c)=\{c^2-2ac+b\}-\{c^2-2bc+a\}=(b-a)(2c+1).$$ $a\ne b$ より $2c+1=0$、したがって $\displaystyle c=-\frac12$。

(2) $a<c<b$ だから $a<b$ であり、$f(x)-g(x)=(b-a)(2x+1)$ より $x<c$ では $f(x)<g(x)$、$x>c$ では $g(x)<f(x)$ である。また $$g(x)-g(c)=(x-c)(x+c-2b)>0\quad(x<c),$$ $$f(x)-f(c)=(x-c)(x+c-2a)>0\quad(x>c).$$ 従って $x<c$ で両方が負なら $g(c)<0$ が必要であり、$x>c$ で両方が負なら $f(c)<0$ が必要である。$\displaystyle f(c)=g(c)=a+b+\frac14$ なので、解があるための必要条件は $\displaystyle a+b+\frac14<0$。逆にこのとき $x=c$ が解となる。よって必要十分条件は $$\displaystyle a+b<-\frac14.$$

(3) 以下 $\displaystyle c=-\frac12$、$a<b$ とする。$f(x)-g(x)=(b-a)(2x+1)$ なので、$x<c$ では両方が負であることは $g(x)<0$ と同値、$x>c$ では $f(x)<0$ と同値である。

まず $b\le c$ のとき、$\displaystyle a<b\le-\frac12$ から $a<b<b^2$ である。従って $g(b)=a-b^2<0$。$b<c$ なら $f(b)<g(b)<0$、$b=c$ なら $f(b)=g(b)<0$ となるので、必ず解をもつ。

次に $a<c<b$ のとき、(2) と同じ比較により、$x<c$ では $g(x)>g(c)$、$x>c$ では $f(x)>f(c)$ である。従って解があるための必要十分条件は $$\displaystyle f(c)=g(c)=a+b+\frac14<0,$$ すなわち $\displaystyle b<-a-\frac14$。

最後に $a\ge c$ のとき、$b<a^2$ なら $x=a\ge c$ において $f(a)=b-a^2<0$ かつ $g(a)\le f(a)$ だから解をもつ。逆に解 $x$ が $x\ge c$ にあれば $f(x)<0$ であり、 $$f(x)=(x-a)^2+b-a^2<0$$ より $b<a^2$。解が $x<c$ にある場合は $g(x)<0$ かつ $g(x)>g(c)$ なので $\displaystyle a+b+\frac14=g(c)<0$。さらに $$\displaystyle -a-\frac14\le a^2$$ は $\displaystyle (a+\frac12)^2\ge0$ から従うため、やはり $b<a^2$。従ってこの場合の必要十分条件も $b<a^2$ である。

これらをまとめる。$a<c$ では $b\le c$ の場合も $\displaystyle b<-a-\frac14$ を満たすため、必要十分条件は $\displaystyle a<b<-a-\frac14$。$a=c$ では $\displaystyle -a-\frac14=a^2=\frac14$ なので、同じ式で表せる。よって $$\displaystyle \boxed{\left(a\le-\frac12\ \text{かつ}\ a<b<-a-\frac14\right) \ \text{または}\ \left(a>-\frac12\ \text{かつ}\ a<b<a^2\right)}.$$

$ab$ 平面では、$a<0$ の領域で下側境界 $b=a$ と上側境界 $\displaystyle b=-a-\frac14\ (a\le-\frac12)$、$\displaystyle b=a^2\ (-\frac12\le a<0)$ の間を塗る。さらに $a>1$ では $b=a$ と $b=a^2$ の間を塗る。境界曲線は含まない。