1北海道大学 2012年 数学 第1問解答・解説

行列 $A$ による点 $(x,y)$ の像を $(x',y')$ とすると、$x'=ax+by,\ y'=cx+dy$ である。

直線 $y=x$ 上の点 $(t,t)$ の像も $y'=x'$ を満たすから、$a+b=c+d$ である。また、直線 $y=-x$ 上の点 $(t,-t)$ の像は $y'=-x'$ を満たすから、$c-d=-(a-b)$、すなわち $a+c=b+d$ である。この2式から $a=d,\ b=c$ を得る。

したがって $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$ であり、与えられた条件 $ad-bc=1$ は $a^2-b^2=1$ となる。$x$ 軸上の点 $(t,0)$ の像は $(at,bt)$ なので、これが直線 $y=kx$ 上にある条件は $bt=kat$（すべての実数 $t$）であり、$b=ka$ である。もし $a=0$ なら $b=0$ となって $a^2-b^2=1$ に反するから、$a\ne0$ である。

$b=ka$ を $a^2-b^2=1$ に代入すると $a^2(1-k^2)=1$。よって実数 $a$ が存在するための必要十分条件は $1-k^2>0$、すなわち $-1<k<1$ である。この範囲では $\displaystyle a=\pm\frac1{\sqrt{1-k^2}}$、$b=ka$ だから、$\displaystyle A=\pm\frac1{\sqrt{1-k^2}}\begin{pmatrix}1&k\\k&1\end{pmatrix}$ となる。どちらの符号でも $ad-bc=1$ であり、3条件を満たす。