2北海道大学 2012年 数学 第2問解答・解説

(1) 　 $\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ なので $x=\sin\theta$ は $-1\leq x\leq1$ を動く。また $\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta=1-2x^2$ より、 $$f=4x(1-2x^2)+3\sqrt2(1-2x^2)-4x=3\sqrt2-6\sqrt2x^2-8x^3.$$

(2) 　 $g(x)=3\sqrt2-6\sqrt2x^2-8x^3$ とおくと、 $$g'(x)=-12x(\sqrt2+2x).$$ 臨界点は $\displaystyle x=-\frac{\sqrt2}{2},0$ である。端点と臨界点での値は $$\displaystyle g(-1)=8-3\sqrt2,\quad g\!\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2,\quad g(0)=3\sqrt2,\quad g(1)=-8-3\sqrt2.$$ したがって最大値は $3\sqrt2$（$x=0$）、最小値は $-8-3\sqrt2$（$x=1$）。この区間では $\sin\theta$ は単調増加なので、対応する角はそれぞれ $\displaystyle \theta=0,\frac{\pi}{2}$ である。

(3) 　 g'(x) の符号から、$g$ は $\displaystyle -1\leq x\leq-\frac{\sqrt2}{2}$ で減少、$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{2}\leq x\leq0$ で増加、$0\leq x\leq1$ で減少する。各区間の端の値は順に $$8-3\sqrt2\to2\sqrt2,\qquad 2\sqrt2\to3\sqrt2,\qquad 3\sqrt2\to-8-3\sqrt2.$$ ここで $2\sqrt2<8-3\sqrt2<3\sqrt2$ である。よって $2\sqrt2<k<8-3\sqrt2$ なら各単調区間の内部に1つずつ解がある。$k=8-3\sqrt2$ のときも x=-1 に加え、残る二つの単調区間の内部に解が1つずつあり、相異なる解は3つである。一方 $k=2\sqrt2$ では x=-$\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$ が隣り合う区間で同じ解として重複し、解は2つにとどまる。したがって求める範囲は $$\boxed{2\sqrt2<k\le8-3\sqrt2}.$$