1神戸大学 2010年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle f(x)=ax+\cos x+\frac12\sin 2x$ を微分すると、 $$f'(x)=a-\sin x+\cos 2x.$$ ここで $t=\sin x$ とおくと $-1\le t\le1$ であり、$\cos 2x=1-2\sin^2x$ より $$\displaystyle f'(x)=g(t),\qquad g(t)=a+1-t-2t^2=a+\frac98-2\left(t+\frac14\right)^2.$$ $g$ は上に凸の二次関数で、$-1\le t\le1$ の範囲の最小値は端点でとる。$g(-1)=a$、$g(1)=a-2$ だから、$a\ge2$ なら $g(t)\ge0$ であり、$f'(x)\ge0$ となる。零点は孤立しているので $f$ は異なるxに対して同じ値をとらずに増加し、極値をもたない。 一方、平方完成した式から $\displaystyle g(t)\le a+\frac98$ である。したがって $\displaystyle a\le-\frac98$ なら $f'(x)\le0$ であり、零点は孤立しているので $f$ は異なるxに対して同じ値をとらずに減少し、極値をもたない。 $\displaystyle -\frac98<a<2$ のときは $\displaystyle g(-\frac14)=a+\frac98>0$、$g(1)=a-2<0$ である。$\displaystyle x_1=-\arcsin\frac14$、$\displaystyle x_2=\frac\pi2$ とすると、$x_1\le x\le x_2$ の範囲で $\sin x$ は $\displaystyle -\frac14$ から $1$ まで増加し、この範囲では平方完成した式から $g(\sin x)$ は単調減少するので、$f'(x)$ は正から負へ変わる。よってこの範囲では $f$ は極大値をもつ。 以上より、求める範囲は $\displaystyle a\le-\frac98$ または $a\ge2$ である。