3神戸大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) $f(x)=g(x)$ より $$\displaystyle \frac{\log x}{x}=\frac{2\log x}{x^2} \quad\text{すなわち}\quad (x-2)\log x=0.$$ $x>0$ なので、解は $x=1,2$ である。対応する $y$ 座標は $f(1)=0$、$\displaystyle f(2)=\dfrac{\log2}{2}$ だから、共有点は $$\displaystyle (1,0),\qquad\left(2,\frac{\log2}{2}\right)$$ である。

(2) 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2},\qquad g'(x)=\frac{2(1-2\log x)}{x^3}.$$ 分母は $x>0$ で正であるから、$f$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。したがって $x=e$ で極大値 $f(e)=1/e$ をとる。また、$g$ は $0<x<\sqrt e$ で増加し、$x>\sqrt e$ で減少するので、$x=\sqrt e$ で極大値 $$\displaystyle g(\sqrt e)=\frac{2\log\sqrt e}{e}=\frac1e$$ をとる。

$x\to0+$ では $f(x),g(x)\to-\infty$。また、問題文の極限と $\displaystyle g(x)=2\dfrac{\log x}{x}\dfrac1x$ より、$x\to\infty$ で両関数は $0$ に収束し、十分大きい $x$ で正である。さらに $$\displaystyle f(x)-g(x)=\frac{(x-2)\log x}{x^2}$$ だから、$0<x<1$ と $x>2$ では $f(x)>g(x)$、$1<x<2$ では $f(x)<g(x)$ である。したがって、両曲線は $(1,0)$、$\displaystyle \left(2,\frac{\log2}{2}\right)$ で交わる。概形は、両方とも左端で $-\infty$ に下がり、$(1,0)$ を通る。$g$ は $(\sqrt e,1/e)$ で極大となって減少し、$f$ はその後も増加して $(e,1/e)$ で極大となり、ともに右端で $0$ に近づく形である。

(3) (2)の大小関係から、求める面積は $$\displaystyle \int_1^2\{g(x)-f(x)\}\,dx+\int_2^e\{f(x)-g(x)\}\,dx$$ である。ここで $$\displaystyle \int\frac{\log x}{x}\,dx=\frac12(\log x)^2, \qquad \int\frac{2\log x}{x^2}\,dx=-\frac{2(\log x+1)}x$$ である。よって、$L=\log2$ とおくと $$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^2(g-f)\,dx&=1-L-\frac{L^2}{2},\\ \int_2^e(f-g)\,dx&=-\frac12+\frac4e-L-\frac{L^2}{2}. \end{aligned}$$ 以上より、面積は $$\displaystyle \boxed{\frac12+\frac4e-2\log2-(\log2)^2}.$$